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Aufgabe:

Bestimme den Wert des Integrals.

0,250,5(1x2+5)dx=\displaystyle \int \limits_{0,25}^{0,5} \Bigl(\frac{1}{x^{2}}+5\Bigr) \,d x=

0π/2sin(2x)dx=\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi/2} \sin (2 x) \,d x=

20xdx=\displaystyle \int \limits_{-\sqrt{2}}^{0} x \,d x=

141xdx=\displaystyle \int \limits_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} \,d x=

0π2sin(0,5x)dx=\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi}-2 \cdot \sin (0,5 x) \,d x=


Problem/Ansatz:

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Und was ist Deine Frage dazu?

Wo hast du ein Problem bei der
Stammfunktion-Findung?

Ich weiß nicht wie ich hier integriere

Wenn FF eine Stammfunktion von ff ist, dann ist

abf(x)dx=F(b)F(a)\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a).

2 Antworten

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Aloha :)

Einfache Potenzen der Form xnx^n integrierst du, indem du den Exponenten um 1 erhöhst und danach durch den neuen Exponenten dividerst (xnxn+1n+1)\left(x^n\to\frac{x^{n+1}}{n+1}\right).

Damit kannst du 3 Integrale sofort hinschreiben:

0,250,5(1x2+5)dx=0,250,5(x2+5x0)dx=[x11+5x11]0,250,5=[1x+5x]0,250,5=3,25\int\limits_{0,25}^{0,5}\left(\frac{1}{x^2}+5\right)dx=\int\limits_{0,25}^{0,5}\left(x^{-2}+5x^0\right)dx=\left[\frac{x^{-1}}{-1}+5\frac{x^1}{1}\right]_{0,25}^{0,5}=\left[-\frac1x+5x\right]_{0,25}^{0,5}=3,2520xdx=[x22]20=1\int\limits_{-\sqrt2}^0x\,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-\sqrt2}^0=-1141xdx=14x12dx=[x1212]14=[2x]14=2\int\limits_1^4\frac{1}{\sqrt x}\,dx=\int\limits_1^4x^{-\frac12}\,dx=\left[\frac{x^{\frac12}}{\frac12}\right]_1^4=\left[2\sqrt x\right]_1^4=2

Bei den trigonometrischen Funktionen kannst du dir merken:sin(x)ableitenintegrierencos(x)ableitenintegrierensin(x)ableitenintegrierencos(x)ableitenintegrierensin(x)\sin(x){{{\text{ableiten}}\atop{\longrightarrow}}\atop{{\longleftarrow}\atop{\text{integrieren}}}}\cos(x){{{\text{ableiten}}\atop{\longrightarrow}}\atop{{\longleftarrow}\atop{\text{integrieren}}}}-\sin(x){{{\text{ableiten}}\atop{\longrightarrow}}\atop{{\longleftarrow}\atop{\text{integrieren}}}}-\cos(x){{{\text{ableiten}}\atop{\longrightarrow}}\atop{{\longleftarrow}\atop{\text{integrieren}}}}\sin(x)

Wenn du dann noch die Kettenregel beachtest, erhältst du:0π/2sin(2x)dx=120π/22sin(2x)dx=12[cos(2x)]0π/2=1\int\limits_0^{\pi/2}\sin(2x)\,dx=\frac12\int\limits_0^{\pi/2}2\sin(2x)\,dx=\frac12\left[-\cos(2x)\right]_0^{\pi/2}=10π2sin(0,5x)dx=40π12sin(12x)dx=4[cos(12x)]0π=4\int\limits_0^\pi-2\sin(0,5x)\,dx=4\int\limits_0^\pi-\frac12\sin\left(\frac12x\right)\,dx=4\left[\cos\left(\frac12x\right)\right]_0^\pi=-4

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https://www.integralrechner.de/


Du kannst das als Kontrolle nutzen.

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