Habe ich einen Fehler gemacht, wenn ja wo?

Question

Hallo, es geht um folgende komplexe Ungleichung:

Ich bin nun wie folgt vorgegangen:

Dies erscheint mir allerdings als zu trivial, als das es richtig sein könnte.

Habe ich einen Fehler gemacht, wenn ja wo?

Vielen Dank im Voraus!

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Deine Anwendung der Dreiecksugl. ist nicht OK.
\(|a-b|\leq |a|-|b|\) ist falsch.

Answer 1

Zu zeigen: \(|z|=\sqrt{2}\Rightarrow |z^2-1|\leq 3\)

Dreiecksugl: \(|z^2-1|\leq |z^2|+|-1|=|z|^2+1\leq \sqrt{2}^2+1=3\)

Answer 2

Du hast die (Un-)Gleichungen

x^2 + y^2 = 2 → y^2 = 2 - x^2
(x - 1)^2 + y^2 ≤ 3

Wenn wir das Lösen

(x - 1)^2 + (2 - x^2) ≤ 3 → x ≥ 0

y = ± √(2 - x^2) mit x ≤ √2

Es handelt sich hier also um den rechten Halbkreis von dem Kreis mit dem Radius √2 um den Ursprung.

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Vielen Dank! :)