Zeigen dass für die Matrix A gilt

Question

Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen? Danke!

Zeigen Sie, dass für die Matrix $A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ b & a\end{array}\right)$ mit $a, b \in \mathbb{R}$ gilt
$e^{A}=e^{a}\left(\begin{array}{cc} \cosh (b) & \sinh (b) \\ \sinh (b) & \cosh (b)\end{array}\right)$
Was ändert sich am Ergebnis, wenn Sie $e^{\widetilde{A}}$ berechnen für die Matrix $\widetilde{A}=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right) ?$
Hinweis: Es gilt $A=a\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$, und die Potenzen $\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)^{n}$ können direkt durch Matrix-Multiplikation berechnet werden.

Comments

e^A mit der e-Reihe bestimmen. cosh(a) durch e Funktionen ersetzen. Hinweis beachten.

wo scheiterst du?lul

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Ich komme bei der Darstellung nicht weiter

Answer 1

Mit$$C=a\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right), \;\; D=b\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)$$gilt wegen ihrer Vertauschbarkeit $e^A=e^{C+D}=e^Ce^D$

$$e^C=\sum (1/n!) a^nE_2=e^a E_2$$Es gilt

für $n=2k$$$D^{2k}=b^{2k}\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)$$Für $n=2k+1$$$D^{2k+1}=b^{2k+1}\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)$$Damit bekommst du$$e^D=\left(\begin{array}{cc}\sum \frac{b^{2k}}{(2k)!}&\sum \frac{b^{2k+1}}{(2k+1)!}\\\sum \frac{b^{2k+1}}{(2k+1)!}&\sum \frac{b^{2k}}{(2k)!}\end{array}\right)$$

Comments

Danke, aber wieso betrachten wir n=2k und n=2k+1?

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Weil sich die Potenzen (von D) mit geraden Exponenten von den Potenzen mit ungeraden Exponenten unterscheiden!!