Wie kann die Durchschnittsgeschwindigkeit 1 kmh betragen, wenn an keiner Stelle das Auto mit über 1 kmh die Stunde …

Question

Aufgabe:

Einführung Diferenzialrechnung

Mir wird gerade die Sekantensteigung und Tangentensteigung erklärt, anhand eines Autos das in t Stunden x Kilometer fährt. Die Funktionsgleichung sei y=\( t^{2} \)

Nun wird eine Sekante durch die Punkte P1(0/0) und P2(1/1) angelegt. Die Steigung beträgt 1. Die Sekantensteigung wird hier als Durchschnittsgeschwindigkeit eines bestimmten Intervalls beschrieben.

Das bedeutet ja, die Durchschnittsgeschwindigkeit im Intervall [0;1] beträgt 1 km/h.

Das verstehe ich nicht ganz.

Betrachte ich einmal eine Wertetabelle

t= 0.1 ( 6 min) = 0.01 km/h. t= 0.4 ( 24 min ) = 0.16 km/h. Usw. Wie kann die Durchschnittsgeschwindigkeit 1 kmh betragen, wenn an keiner Stelle das Auto mit über 1 kmh die Stunde unterwegs ist? Nur mit genau einem km/h bei 1 h.

Problem/Ansatz:

Comments

y = t² ist der zurückgelegte Weg, nicht die Geschwindigkeit, die v = 2t ist.

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Es gibt immer eine Stelle, an der die Momentangeschwindigkeit gleich der Durchschnittsgeschwindigkeit ist. (Mittelwertsatz)

Answer 1

Ich verstehe nicht ganz was du meinst die Durchschnittsgeschwindigkeit ist hier 1 km/h. Das Auto fährt auch an genau einer Stelle genau 1 km/h. Davor fährt es langsamer und danach schneller.

Comments

Na ja. Bei 6 min fährt das Auto 0.01 Kilometer pro Stunde. Bei 24 min fährt das Auto 0.16 Kilometer Pro Stunde. Im gesamten Intervall [0;0.99999] fährt das Auto mit unter 1 Kilometer pro Stunde. Wie kann dann die Durchschnittsgeschwindigkeit vom Auto, 1 kmh betragen.

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Text erkannt:

fx-cc5a
\begin{tabular}{|rr} G] Wath Deg] Fix7] [o. \\ \( X \) & \( Y 1 \) \\ \( 0.1 \) & \( 0.01 \) \\ \( 0.4 \) & \( 0.16 \) \\ \( 0.7 \) & \( 0.49 \) \\ 1 & 1 \end{tabular}
[FORMULA DELETE] ROW [EDIT] GPH-CON GPH-PLT]

Also wie man sieht, kann ja die Durchschnittsgeschwindigkeit vom Auto ja garnicht 1 kmh betragen, wenn das Auto nie über 1 kmh unterwegs ist, außer bei genau einer Stunde. Durchschnittlich wäre für mich: Das Auto ist mit durchschnittlich 0.5 oder 0.4 km/h oder so etwas in die Richtung in diesem Intervall unterwegs

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Also ist die Sekantensteigung, die durchschnittliche Änderungsrate, ist eher ein ungenaues Mittel in dem Beispiel? Ich meine wenn ich die Tangente anlege bei 1/1, dann ist ist es klar, die Momentangeschwindigkeit beträgt 1. Würde ich jetzt aber die Tangente in allen Punkten im Intervall [0;1] anlegen, und dann den Durchschnittswert aller Momentansteigungen berechnen, liege der ja nicht bei 1. Und das ist ja das selbe für mich wie die Aussage mit der Sekantensteigung im Intervall 0 bis 1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit betrage 1 kmh.

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Die Funktion y = x^2 gibt die gefahrene Anzahl an km in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden wieder

Nach 0.1 Stunden hat das Auto 0.01 km zurückgelegt.
Nach 0.4 Stunden hat das Auto 0.16 km zurückgelegt.
Nach 0.7 Stunden hat das Auto 0.49 km zurückgelegt.
Nach 1.0 Stunden hat das Auto 1.00 km zurückgelegt.

Die Funktion gibt hier nicht die Geschwindigkeit an, sondern die zurückgelegte Strecke.

Wenn das Auto in einer Stunde einen Kilometer zurückgelegt hat, dann ist es in diesem Zeitabschnitt mit einer mittleren Geschwindigkeit von 1 km/h gefahren. Das ist die Sekante.

Die Tangente an den Grafen gibt die Momentangeschwindigkeit an. Wir sehen das zum Zeitpunkt 0.5 h das Auto eine Geschwindigkeit von 1 km/h hat. Davor fuhr es langsamer, danach schneller.

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Ich hatte einen Denkfehler. Ich habe im Hinterkopf an einen linearen Prozess gedacht, bei dem es hätte nicht sein können das die Durchschnittsgeschwindigkeit 1kmh beträgt, wenn ich bei 6 min 0.01 zurückgelegt habe. Dankeschön!