Lineare Algebra Gruppentafel - Alle möglichen Gruppen mit genau 4 Elementen.

Question

Aufgabe:

Bestimmen mit der Hilfe der Gruppentafel alle möglichen Gruppen mit genau 4 Elementen
und entscheiden Sie, welche dieser Gruppen abelsch sind.

Mein Problem ist das ich nicht weiß wie ich diese Aufgabe angehen soll. Ich weiß was eine Gruppentafel ist aber nicht wie und mit welchen Werten ich diese füllen soll.

Comments

$\left\{a,\:b,\:c,\:e\right\}$ wäre sicher eine geschickte Wahl, wobei $e$ das Neutrale der Gruppe bezeichnet. Jedes dieser vier Elemente der Gruppe muss in jeder Zeile und in jeder Spalte der Verknüpfungstafel genau einmal vorkommen.

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Ich hätte es nicht besser formulieren können.

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Die Verknüpfungstafel könnte dann im ersten Schritt so aussehen:

$$\begin{matrix} e & a & b & c \\ a & \_ & \_ & \_ \\ b & \_ & \_ & \_ \\ c & \_ & \_ & \_ \end{matrix}$$

Sieben von den sechszehn Einträgen vergeben sich von selbst, die neun anderen verbleiben zum Basteln.

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Es sei $G$ eine Gruppe der Ordnung vier und $G=\lbrace e,a,b,c\rbrace$, wobei $e$ das neutrale Element in $G$ ist.

Wenn die Gruppe zyklisch ist, dann gibt es ein $g\in G$ mit $G=\lbrace e,g,g^2,g^3\rbrace$. Die Verknüpfungstafel sieht dann so aus:
$\begin{array}{c|cccc}\cdot&e&g&g^2&g^3\\\hline e&e&g&g^2&g^3\\g&g&g^2&g^3&e\\g^2&g^2&g^3&e&g\\g^3&g^3&e&g&g^2\end{array}$
Diese Gruppe ist isomorph zu $\left(\mathbb Z/5\mathbb Z\right)^*$, der multiplikativen Einheitengruppe des Restklassenrings $\mathbb Z/5\mathbb Z$.

Wenn die Gruppe nicht zyklisch ist, dann gibt es kein Element der Ordung vier. Da es auch kein Element der Ordnung drei geben kann, muss $g\cdot g=e$ für alle $g\in G$ gelten. Die Verknüpfungstafel sieht dann etwa so aus:
$\begin{array}{c|cccc}\cdot&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&&\\b&b&&e&\\c&c&&&e\end{array}$
Die restlichen noch freien Felder stehen dann auch fest:
$\begin{array}{c|cccc}\cdot&e&a&b&c\\\hline e&e&a&b&c\\a&a&e&c&b\\b&b&c&e&a\\c&c&b&a&e\end{array}$
Diese Gruppe ist isomorph zu $\left(\mathbb Z/8\mathbb Z\right)^*$, der multiplikativen Einheitengruppe des Restklassenrings $\mathbb Z/8\mathbb Z$ und ist auch als Kleinsche Vierergruppe bekannt.

Bis auf Isomorphie gibt es also genau zwei Gruppen der Ordnung vier; eine zyklische und eine nicht zyklische. Beide Gruppen sind offenbar abelsch.

Answer 1

Zur Kontrolle kannst du ja mal hier schauen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_kleiner_Gruppen#Liste_aller_Grup…

Es gibt also nur 2 Möglichkeiten für Gruppen

mit 4 Elementen.