Welche Beziehung zwischen bestimmten Binomialkoeffizienten entspricht das?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 5 (aus MmF) Sei $X$ eine endliche Menge mit genau $n$ Elementen. Wir bezeichnen mit $P_{k}(X)$ die Menge aller $k$-elementigen Teilmengen von $X$, wobei $0 \leq k \leq n$.

Text erkannt:

(1) Zeige, dass die Funktion
$f: P_{k}(X) \rightarrow P_{n-k}(X), \quad f(A)=X \backslash A$
eine Bijektion ist. Gib die Umkehrabbildung $g: P_{n-k}(X) \rightarrow P_{k}(X)$ an.
(2) Es folgt, dass $\left|P_{k}(X)\right|=\left|P_{n-k}(X)\right|$. Welche Beziehung zwischen bestimmten Binomialkoeffizienten entspricht das?

Problem/Ansatz:

kann nicht verstehen, was ist diese Funktion f(A) = X\A ?

könntet ihr bitte sehr dringend damit helfen!!!

Vielen Dank im Voraus!!!!!!

Answer 1

was ist diese Funktion f(A) = X\A ?

Beispiel. $n = 5$, $X = \{a,b,c,d,e\}$, $k = 2$.

Dann ist $f$ eine Abbildung von der Menge der $2$-elementigen Teilemengen von $X$ in die Menge der $3$-elementigen Teilmengen von $X$.

Es ist

        $f(\{b,e\}) = \{a,b,c,d,e\}\setminus \{b,e\} = \{a,c,d\}$.

Welche Beziehung zwischen bestimmten Binomialkoeffizienten entspricht das?

Die Beziehung besagt, dass es genau so viele $2$-elementigen Teilmengen von $\{a,b,c,d,e\}$ gibt, wie $3$-elementigen Teilmengen.

Die Anzahl der $k$-elementigen Teilmengen einer $n$-elementigen Menge ist $n\choose k$.

Comments

Ist diese Funktion eine Bijektion?

LG