Beziehung für Binomialkoeffizienten nachweisen

Question

Für die Binomialkoeffizienten mit \( n, m, k \in \mathbb{N} \) und \( k \leq m \leq n \) weise man folgende Beziehungen nach:

\( \left(\begin{array}{c} n \\ m \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} m \\ k \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} n-k \\ m-k \end{array}\right) \)

Ansatz:

$$ \left( \frac { n }{ m }  \right) *\left( \frac { m }{ k }  \right) =\frac { n! }{ m!(n-m) } \quad *\quad \frac { m! }{ k!(m-k) } \quad = \quad ? $$

Das "k" stört mich, ich weiß nicht, wie ich jetzt weiter rechnen soll. Für diesen Fall habe ich auch keine Rechenregeln gefunden, kann ich das also einfach ausmultiplizieren?

Answer 1

schreibe dir erstmal beide Seiten der Gleichung aus. Auf der linken Seite kannst du m! kürzen, es handelt sich um ein Produkt von 2 Brüchen jeweils auf beiden Seiten der Gleichung. Das bedeutet du kannst die Faktoren im Zähler und Nenner anordnen wie du möchtest. Nachdem du auf der linken Seite m! kürzt erweitere einen der Brüche mit (n-k)! und du kriegst schon die rechte Seite.

Gruß

Comments

Ok, hier mal meine Rechnung: $$ \frac { n! }{ m!(n-m) } *\frac { m! }{ k!(m-k) } \\ =\frac { n! }{ (n-m) } *\frac { 1 }{ k!(m-k) } \\ =\frac { n! }{ (n-m) } *\frac { (n-k)! }{ k!(m-k)(n-k)! } \\ =\frac { n!\quad (n-k)! }{ k!(n-k!)(m-k)(n-m) } \\ =\left( \frac { n }{ k }  \right) *\frac { (n-k)! }{ (m-k)(n-m) }  $$

Bin mir nicht sicher, ob ich alles richtig gemacht habe, jedenfalls weiß ich nicht, wie ich auf (n-k)/(m-k) kommen soll in der letzten Zeile...

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Hallo du vergisst konsequent die "!"

$$\binom{n-k}{m-k} = \frac{(n-k)!}{ (n-k-(m-k))! \cdot (m-k)!} $$...

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Ich habe die Rechenregeln nicht drauf für Binomialkoeffizienten...muss mir das später noch einmal genauer anschauen, danke für deine Hilfe :)