Zeigen Sie folgende Ungleichung

Question

Zeigen Sie: ∀a∈ℝ, 0<a<1, ∀n,m∈ℕ, n<m: a^n>a^m

Wie soll man hier genau vorgehen?

Answer 1

∀a∈ℝ, 0<a<1, ∀n,m∈ℕ, n<m: aⁿ>a^m  

Bew.: Seiebna∈ℝ, 0<a<1 und  n,m∈ℕ, n<m

==>  ∃ d∈ℕ, d>0 und m=n+d

 ==>   a^m = a^n+d = aⁿ*a^d

Wegen 0<a<1 folgt (ggf. mit vollst Induktion über d) a^d < 1

==>  aⁿ >  aⁿ * a^d = a^m .   q.e.d.