Wie genau ist das Kreuz hier in dem Urbild zu deuten?

Question

Aufgabe:

Sei U ⊂ Rⁿ offen und f : U × [a; b] → R stetig.

Wie genau ist das Kreuz hier in dem Urbild zu deuten?
Also wie genau verknüpft es die Menge U mit dem Intervall [a,b]?

Impliziert das, dass es um Raumkurven geht?

Text erkannt:

Sei $\mathcal{U} \subset \mathbb{R}^{n}$ offen und $f: \mathcal{U} \times[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetig.

Answer 1

Du kannst das Intervall $[a,b]$ als Zeitraum interpretieren. Du hast erstmal eine Teilmenge $\mathcal{U}\subset \mathbb{R}^n$, das könnte für $n=3$ z. B. ein Quader sein; nehmen wir idealisierend an, es handle sich dabei um ein Schwimmbecken. Die Funktion kriegt jetzt einen Punkt $(x_1,x_2,x_3,t)$, d. h. einen Ort im Schwimmbecken $(x_1,x_2,x_3)$ zu einem Zeitpunkt $t$ und bildet das auf eine Zahl $f(x_1,x_2,x_3,t)\in \mathbb{R}$ ab, das könnte z. B. die Temperatur an der jeweiligen Stelle sein. Eine Raumkurve müsste als Zielmenge zumindest drei Dimensionen haben, um als solche bezeichnet zu werden.

Das Kreuz $\times$ steht für das cartesische Produkt: $A\times B=\{(a,b) : a\in A, b\in B\}$.

In der Topologie würde man vielleicht von einem Zylinder über $\mathcal{U}$ sprechen, wenn du eine geometrische Interpretation willst.

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Sehr hilfreiche Antwort, vielen Dank!