Vollständige induktion auf gabe b

Question

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Aufgabe 1.1 Wir hatten in der Plenarübung die Formeln
$\sum \limits_{k=1}^{n} k=\frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
für alle $n \in \mathbb{N}$ bewiesen. Vermuten Sie eine analoge Formel für den Ausdruck
$\sum \limits_{k=1}^{n} k(k+1) \cdots(k+m) \quad(n, m \in \mathbb{N})$
und beweisen Sie diese mithilfe vollständiger Induktion.
Aufgabe 1.2  Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion:
(a) Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $11^{n+1}+12^{2 n-1}$ ist durch 133 teilbar.
(b) Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $n ! \leq 2\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$.
Hinweis: Bei (b) könnte die Bernoullische Ungleichung nützlich sein.
Aufgabe 1.3 Zeigen Sie die folgenden Aussagen über reelle Zahlen:
(a) Sind $x, y \in \mathbb{R}$ mit $x, y \geq 0$, so folgt aus $x^{2}<y^{2}$ stets $x<y$.
(b) Für $x \in \mathbb{R}$ gilt $|x| \geq 0$ und $|x|=0$ genau dann, wenn $x=0$ gilt.
(c) Für $x, y, \varepsilon \in \mathbb{R}$ mit $\varepsilon>0$ gilt $|x-y| \leq \varepsilon$ genau dann, wenn $y-\varepsilon \leq x \leq y+\varepsilon$.
(d) Für $x, y \in \mathbb{R}$ mit $x \neq 0$ und $y \neq 0$ gilt $\left|\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right| \geq 2$.

Aufgabe:

Hallo und zwar könnte mir jemand bei 1.2 b behilflich sein und 1.3 wäre super hilfreich

Comments

Hi hätte hier niemand eine Idee ?

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Wo wohnst Du? Ist bei Dir nicht gerade erst Morgen?

Jedenfalls wurden 2.2b und 1.3c,d kürzlich auf Mathelounge bearbeitet.

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Ich lerne am besten morgens deswegen bin ich so früh wach und hättest du ein link für mich weil ich finde es nicht

Answer 1

12 b) findest du dort

https://www.mathelounge.de/968185/n-n-2-n-durch-vollstandige-indukti…

1.3

(a) Sind $x, y \in \mathbb{R}$ mit $x, y \geq 0$, so folgt aus $x^{2}<y^{2}$ stets $x<y$.

Bew.:   Seien $x, y \in \mathbb{R}$ mit $x, y \geq 0$ und     $x^{2}<y^{2}$

==>    $0 <y^{2} -x^{2}$   3.binomi.

==>    $0 <(y-x)(y+x)$

Wegen $x, y \geq 0$ ist der 2. Faktor positiv, also der 1. auch

==>   $0 <y-x$

==>  $x <y$   q.e.d.

(b)   $|x| \geq 0$ und $|x|=0$

wegen "und" gilt insbesondere     $|x|=0$

also x=0  und -x=0   insbesondere also x=0.

umgekehrt:   x=0 ==>   x=0 und -x=0

                          ==>  |x|=0

Und   $|x| \geq 0$ gilt für alle $x \in \mathbb{R}$, also gilt

     $|x| \geq 0$ und $|x|=0$ .