Allgemeine Eigenschaften von Gruppen

Question

Aufgabe:

Sei \( (G, \cdot) \) eine Gruppe.

a) Für \( g, h \in G_{\text {. sei die Relation }} g \sim h \Leftrightarrow(g=h) \vee\left(g=h^{-1}\right) \) definiert. Zeigen Sie, dass \( \sim \) eine Äquivalenzrelation ist und bestimmen Sie die möglichen Anzahlen von Elementen in den Äquivalenzklassen.

b) Für \( m \in \mathbb{N} \) und \( a \in G \) sei \( a^{m}=e \) für \( m=0 \) und
\( a^{m}=\underbrace{a \cdot a \cdots a}_{m-\mathrm{fach}} \)
definiert. Zeigen Sie: Ist \( (G, \cdot) \) eine endliche Gruppe und \( |G| \) gerade, so existiert ein \( a \in G, a \neq e \) mit \( a^{2}=e \). Hierbei bezeichnet \( |G| \) die Anzahl von Elementen in \( G \).
Hinweis: Zerlegen Sie \( G \) bezüglich der in Teil a) definierten Äquivalenzrelation!

c) Sei nun \( G \) eine beliebige endliche Gruppe. Zeigen Sie: \( \exists m \in \mathbb{N}^{*} \), so dass \( \forall a \in G \) \( a^{m}=e \) gilt.

d) Sei \( G \) eine beliebige Gruppe mit der Eigenschaft \( (a b)^{2}=a^{2} b^{2} \) für alle \( a, b \in G \). Zeigen Sie, dass \( G \) abelsch ist.

Problem/Ansatz:

Könnte mir das jemand bitte erklären? Ich verstehe die Aufgabe leider nicht. Die Aufgabe sieht ihr auf dem Bild. Leider scheitere ich schon bei der Äquivalenzrelation. Ich weiß aber, dass ich zeigen muss, dass sie reflexiv, symmetrisch und transitiv sein muss.

Ich bedanke mich für jede Hilfe!

Answer 1

Äquivalenzrelation: Zu zeigen: reflexiv, symmetrisch und transitiv.

reflexiv: Für alle x∈G gilt x~x.  (klar, weil x=x oder x=x^(-1) eben stimmt , zumindest die 1. Gleichung )

symmetrisch: g~h ==> \( (g=h) \vee\left(g=h^{-1}\right) \)

                        ==> \( (h=g) \vee\left(h=g^{-1}\right) \)

                      ==>   h~g.

transitiv: Seien  g,h,i ∈ G mit    g~h und  h~i

==>    \( (g=h) \vee\left(g=h^{-1}\right) \)   und   \( (h=i) \vee\left(h=i^{-1}\right) \).

1. Fall: g=h und h=i dann nat. auch g=i ==> g~i

2. Fall g=h^(-1) und h=i dann auch h^(-1) = i^(-1) ,

                        also auch g=i^(-1)  ==>  g~i

3. Fall g=h und h=i^(-1)     etc. ..........

In einer Klasse sind höchstens 2 Elemente,

nämlich g und g^(-1)  wenn g ≠ g^(-1)

oder sogar nur 1 wenn g = g^(-1).

Comments

Vielen Dank für deine Hilfe!

Mir ist nun schon einiges klarer geworden. Könntest du mir den 2. Fall der Transitivität genauer erläutern? Und eine weitere Frage lautet: Gibt es nicht eigentlich 4 Fälle?

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Gibt es nicht eigentlich 4 Fälle?
Klar, deshalb "etc. ....."

2.Fall: g=h^(-1) und h=i

       dann auch h^(-1) = i^(-1) ,
    denn h=i ==>  h^(-1) = i^(-1).

      also auch g=i^(-1) [ wegen g=h^(-1) und h^(-1) = i^(-1)]
                                    ==>  g~i