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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass der arithmetische Mittelwert b = x mit Dach die quadratischen Abstände der empirischen Varianz


f(b) = i=1N(xib)2 \sum\limits_{i=1}^{N}{(xi - b)^2} minimiert.  Beim xi handelt es sich um das xi,es lässt sich nicht mit der Formel darstellen.


Ich habe leider gar keinen Ansatz, wie ich es lösen könnte, kann mir jemand helfen?

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Aloha :)

Die Extremwerte der Funktionf(b)=i=1N(xib)2=i=1N(xi22bxi+b2)f(b)=\sum\limits_{i=1}^N(x_i-b)^2=\sum\limits_{i=1}^N(x_i^2-2bx_i+b^2)müssen wir dort suchen, wo die Ableitung verschwindet:0=!f(b)=i=1N(2xi+2b)=2i=1Nxi+2i=1Nb=2i=1Nxi+2Nb2Nb0\stackrel!=f'(b)=\sum\limits_{i=1}^N(-2x_i+2b)=-2\sum\limits_{i=1}^Nx_i+2\sum\limits_{i=1}^Nb=-2\sum\limits_{i=1}^Nx_i+2Nb\quad\bigg|-2Nb2Nb=2i=1Nxi÷(2N)-2Nb=-2\sum\limits_{i=1}^Nx_i\quad\bigg|\div(-2N)b=1Ni=1Nxi=xb=\frac1N\sum\limits_{i=1}^Nx_i=\overline x

Für b=xb=\overline x wird f(b)f(b) tatsächlich extremal.

Wir prüfen noch mit Hilfe der 2-ten Ableitung, ob tatsächlich ein Minimum vorliegt:f(b)=i=1N2=2N>0    Minimumf''(b)=\sum\limits_{i=1}^N2=2N>0\implies\text{Minimum}

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