Stochastik: Unterschied von grossem und kleinem Omega und X^{-1} (1) =?

Question

Kann mir jemand erklären was das bedeutet:

Eine Zufallsgröße ist eine Abbildung X: Ω -> ℝ .
weitere Frage:
was ist X^-1 (1)
weitere Frage:

es gibt ja das Omega, das groß Omega, und das klein Omega.

Was ist der Unterschied, ich verstehe das nicht ganz. Das ist doch das kleine omega oder ω <- ?

Answer 1

Eine Zufallsgröße ist eine Abbildung X: Ω -> ℝ .

Jedem Ergebnis aus Ω wird eine reelle Zahl zugeordnet.

Eigentlich wird sogar jeder Teilmenge von Ω also jedem Ereignis eine reelle Zahl zugeordnet.

X^-1(1) ist also das Ereignis aus Ω dessen Wahrscheinlichkeit 1 ist. Damit ist also das sichere Ereignis oder ganz Ω gemeint.

Die Menge aller Möglichen Ergebnisse ist die Ergebnismenge. Sie wird mit Ω bezeichnet.

Answer 2

Bei der Def. der Zufallsgröße fehlt noch was. Umgangssprachlich: "Urbilder messbarer Mengen sind messbar" unter Zufallsgrößen (analog zur Stetigkeit) X^{-1} steht für das Urbild: https://de.wikipedia.org/wiki/Urbild_%28Mathematik%29 $$ \omega, Omega$$ sind nur Bezeichnungen (alsokeine Definitionen nur gewohnheitsmäßig verwendete Benennungen), meist nimmt man $$\omega \in Omega$$, also klein-omega bezeichnen die Elemente von groß-Omega