Vollständige Induktion zeigen für alle n \in \mathbb{N}_{0}

Question

Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion: Für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt
\( \sum \limits_{k=0}^{2 n} \mathrm{i}^{k} k=\left\{\begin{array}{ll} n(1-\mathrm{i}), & \text { wenn } n \text { gerade } \\ -(n+1)+n \mathrm{i}, & \text { wenn } n \text { ungerade } \end{array}\right. \)
Sie dürfen dabei die folgenden Identitäten verwenden:
\( \mathrm{i}^{2 n+1}=\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{i}, & \text { wenn } n \text { gerade } \\ -\mathrm{i}, & \text { wenn } n \text { ungerade } \end{array} \quad \text { und } \quad \mathrm{i}^{2 n+2}=\left\{\begin{array}{ll} -1, & \text { wenn } n \text { gerade } \\ 1, & \text { wenn } n \text { ungerade } \end{array}\right.\right. \)

Comments

Hallo

wo liegen den die Schwierigkeiten? Fang mal an und tu was und sag genau was du nicht kannst.

lul

Answer 1

Für n=0 gilt \(\sum \limits_{k=0}^{0} \mathrm{i}^{k} k= i^0 \cdot 0 = 0 =0 \cdot (1-i)  \)

Für n=1 gilt \(\sum \limits_{k=0}^{2 } \mathrm{i}^{k} k= i^0 \cdot 0 + i^1 \cdot 1 + i^2 \cdot 2  = i-2 =-2+i=-(1+1)+i \)

Also klappt der Ind.anfang für die 1. gerade und die erste ungerade Zahl.

Sei nun \( n \in \mathbb{N}_{0} \) und n gerade und die Formel gilt für n , dann gilt

\(\sum \limits_{k=0}^{2(n+1)} \mathrm{i}^{k} k= \sum \limits_{k=0}^{2n} \mathrm{i}^{k} k +  \mathrm{i}^{2n+1} (2n+1) + +  \mathrm{i}^{2n+2} (2n+2) \)

wegen der Ind. annahme also

\(\sum \limits_{k=0}^{2(n+1)} \mathrm{i}^{k} k= n (1- \mathrm{i})  +  \mathrm{i}^{2n+1} (2n+1)  +  \mathrm{i}^{2n+2} (2n+2) \)

\(= n (1- \mathrm{i})  +  \mathrm{i} (2n+1) + (-1)(2n+2) =   n - n \mathrm{i}  +  2n\mathrm{i} +\mathrm{i}  -2n -2\)

\( =   + n\mathrm{i} +\mathrm{i}  -n -2  = -(n+1+1)   + (n+1)\mathrm{i} \)

Und das ist das, was die Formel für n+1 (wegen n gerade ist das ja ungerade) hergibt.

Analog zeige, dass für ungerades n auch die Formel für n+1 (Das ist dann ja gerade.) stimmt.

Comments

Kurze Nachfrage zum Induktionsanfang mit n=1..
wie kommst du von i²*2 auf -2 bzw von i² auf -1?

Danke dir!

---

Wie wäre es für ungerades n? Also das n+1 stimmt?

---

@Kalle1234  Das steht doch unter der Aufgabe :

"Sie dürfen folgende ..... "

@Rosalie32

Könnte so beginnen

Sei nun \( n \in \mathbb{N}_{0} \) und n ungerade und die Formel gilt für n , dann gilt \(\sum \limits_{k=0}^{2(n+1)} \mathrm{i}^{k} k= \sum \limits_{k=0}^{2n} \mathrm{i}^{k} k +  \mathrm{i}^{2n+1} (2n+1) + +  \mathrm{i}^{2n+2} (2n+2) \)

wegen der Ind. annahme also

\(\sum \limits_{k=0}^{2(n+1)} \mathrm{i}^{k} k= -(n+1)+n\mathrm{i} +  \mathrm{i}^{2n+1} (2n+1)  +  \mathrm{i}^{2n+2} (2n+2) \)

und das müsste (n+1)(1-i) ergeben.