span / linear kombination

Question

Aufgabe:

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 & x₁ \\ -1 & 1 & 0 & x₂ \\2 & 0 & -2 & x₃ \\2 & 0 & -2 & x₄ \\2 & 1 & 2 & x₅ \end{pmatrix} \)

2. Geben Sie entweder Werte für x₁,...,x₅ ∈ Q so an, dass das Bild von
A immer größer ist, als das Bild der 4 Matrizen, die entstehen, wenn
Sie eine beliebige der Spalten weglassen, oder erklären Sie warum das
unmöglich ist.
3. Geben Sie entweder Werte für x₁,...x₅ ∈ Q so an, dass das Bild von
A mit dem Bild der 4 Matrizen übereinstimmt, die entstehen, wenn
Sie eine beliebige der Spalten weglassen, oder erklären Sie warum das
unmöglich ist.

Problem/Ansatz:

könnte mir jemand hierbei vielleicht jemand helfen. Ich würde sagen, dass nummer 2 und 3 beide lösbar sind, da man in 2 nur eine spalte der matrix entwerfen muss, die keine linearkombination der anderen ist.

 3 ist glaube ich auch möglich, wenn man die spallte (0, 0, 0, 0, 5) nimmt, die eine Lin komb aus den ersten 3 ist. So könnte man durch linearkombinieren die fehlende spalte erhalten. Bin mir aber leider ziemlich unsicher bei beidem.

Falls mir kurz wer helfen könnte würde ich mich sehr freuen :-)

Answer 1

Das Bild ist ja immer der von den Spalten der Matrix

erzeugte Untervektorraum des R^5 .

Die drei gegebenen sind linear unabhängig. Wenn man einen

4. lin. unabhängigen Vektor dazu tut, z.B.

1
0
0
0
0

hat man also 4 linear unabhängige.

Die erzeugen immer ein Bild B der dim 4.

Wenn man einen weglässt, sind es immer drei

lin. unabhängige. Die erzeugen als nur einen

3-dim Unterraum von B, also ist B echt größer

als dieser.

3 ist glaube ich auch möglich, wenn man die Spalte (0, 0, 0, 0, 5) nimmt, die eine
Lin komb aus den ersten 3 ist.   ✓   Allerdings geht das dann nur,

weil nach dem Weglassen einer der 4 Spalten die restlichen lin. unabhängig

sind. Es werden also nach dem Weglassen einer Spalte Unterräume erzeugt,

die die gleiche Dimension haben wie der von den 4 Spalten erzeugte Raum.

Und endlich erzeugte Unterräume gleicher Dimension sind gleich

dem "Ober"raum.