Bestimmen Sie ein möglichst großes Intervall (a, b) , so dass die Reihe

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie ein möglichst großes Intervall \( (a, b) \), so dass die Reihe
\( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{k}}(x-3)^{k} \)
für alle \( x \in(a, b) \) konvergiert. Berechnen Sie für \( x \in(a, b) \) den Reihenwert in Abhängigkeit von \( x \).

Problem/Ansatz:

Was genau muss ich jetzt bei dieser Aufgabe machen?

Comments

Was genau muss ich jetzt bei dieser Aufgabe machen?

Das klingt nach Berechnung des Konvergenzradius.

Answer 1

Das ist eine Potenzreihe.

Du musst den Konvergenzradius bestimmen. Dafür gibt es Formeln. Verwende sie. Aus dem Konvergenzradius und dem Entwicklungspunkt musst du das Konvergenzintervall bestimmen.

Comments

ich habe da als Intervall jetzt 1 bis 5 raus und bei der Überprüfung der Randpunkte -1 und 1.

Kann das stimmen?

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ich habe da als Intervall jetzt 1 bis 5 raus

Das stimmt.

ein möglichst großes Intervall \( (a, b) \),

Das ist ein offenes Intervall. Deshalb ist ...

bei der Überprüfung der Randpunkte -1 und 1.

... das hier nicht Bestandteil der Aufgabenstellung. Aber ...

Berechnen Sie für \( x \in(a, b) \) den Reihenwert in Abhängigkeit von \( x \).

... das fehlt noch.

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ach so, also muss ich gar nicht die Randpunkte überprüfen sondern habe mit \( x \in(1, 5) \) bereits die Lösung für die Aufgabe?

Berechnen Sie für \( x \in(a, b) \) den Reihenwert in Abhängigkeit von \( x \).

Diesen Teil verstehe ich leider überhaupt nicht, bzw. weiß ich nicht was ich machen soll.

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habe mit \( x \in(1, 5) \) bereits die Lösung für die Aufgabe?

Zumindest für den Teil mit dem Intervall.

Berechnen Sie für \( x \in(a, b) \) den Reihenwert in Abhängigkeit von \( x \).

Der Term \(\frac{1}{2^{k}}(x-3)^{k}\) lässt sich so umformen, dass du eine geometrische Reihe bekommst, die für \(x\in(1,5)\) konvergiert. Für den Wert der Reihe gibt es eine Formel.

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Alles klar danke