Konvergenzradius | Summenzeichen k = 1

Question

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

$\text { (i) } \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{4^{k}} x^{2 k} ; \quad \text { (ii) } \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{k \cdot 3^{k}}(x-2)^{k} \text {. }$

für i) habe ich 4 raus aber was mache ich bei der ii genau, da da k = 1 ist in der summe?

Für die Potenzreihe in ii soll ich außerdem, das konvergenzverhalten in den Randpunkten des Konvergenzintervalls untersuchen. Wie klappt sowas?

Comments

für i) habe ich 4 raus

ich denke, dass ist eher $r=2$. Ich vermute wegen $x^{{\color{red}2}k}$ muss man noch die Wurzel aus der 4 ziehen.

Answer 1

Aloha :)

Die Konvergenzradien sind:$$r_1=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{\left|\frac{(-1)^n}{4^n}\right|}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\frac14}=4$$$$r_2=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^n}{n3^n}}{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)3^{n+1}}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{(n+1)3^{n+1}}{n3^n}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\left(1+\frac1n\right)\cdot3\right)=3$$

Zur Bestimmung der Konvergenzbereiche musst du die die Potenzen von $x$ genau anshen.

(i) Hier tritt $x^{2k}=(x^2)^k$ auf. Der Kovergenzbereich ist daher:$$|x^2|<r_1=4\implies |x|<2\implies\pink{-2<x<2}$$

(ii) Hier tritt $(x-2)^k$ auf. Der Kovergenzbereich ist daher:$$|x-2|<r_2=3\implies-3<x-2<3\implies\pink{-1<x<5}$$

Nun sollst du noch die Konvergenz an den Randpunkten der Intervalle untersuchen.

Dazu musst du bei (i) die Konvergenz für Werte $x=-2$ und $x=2$ untersuchen.

Bei (ii) sind die zu untersuchenden Werte $x=-1$ und $x=5$.

Die Freude daran möchte ich dir nicht nehmen... ;)

Comments

Wie genau kommen sie bei der (ii) auf 3? Ich verstehe nicht wie die umformung zustande kommt. Also der schritt nach | a_k / a_k+1 |

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Wie kann denn der Konvergenzradius r₁ = 4 und der Konvergenzbereich aber nur -2 < x < 2 sein?

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weil 4 kein wert für x ist

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@Mathieu:

$$\frac{(n+1)3^{n+1}}{n3^n}=\frac{(n+1)\cdot\cancel{3^n}\cdot3}{n\cdot\cancel{3^n}}=\frac{(n+1)}{n}\cdot3=\left(\frac nn+\frac 1n\right)\cdot3=\left(1+\frac1n\right)\cdot3$$

@Arsinoe4:

Der Konvergenzradius $r=4$ gilt für $x^2$.

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ich hab gerade gemerkt dass, für die (ii) -3 für r raus kommt wenn sie -1^k mit -1^k+1 kürzen bleibt ja -1 übrig sie haben das minus vergessen, wie ändert sich jetzt die Konvergenz in den randpunkten?

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Es kommt nicht $(-3)$ raus, weil der Konvergenzratius positiv definiert ist, daher auch die Betragszeichen.

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Achso okay, danke hatte ich ganz vergessen tut mir leid.

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Wie genau untersucht man das dann?

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Bei der ersten Aufgabe garantiert das Konvergenzintervall $\pink{-2<x<2}$ die Kovergenz der Reihe für die angegeben $x$. An den Rändern $x=-2$ und $x=2$ kann Konvergenz vorliegen, muss aber nicht. Daher sollst du die Ränder noch explizit abprüfen.

Für $x=\pm2$ erhalten wir:$$\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{4^k}x^{2k}\bigg|_{x=\pm2}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{4^k}(\pm2)^{2k}=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{4^k}\,4^k=\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k$$Die Reihe konvergiert nicht, sie springt ewig zwischen den Werten $0$ und $1$ hin und her.

Ein ähnliche Untersuchung musst du nun noch mit der zweiten Folge und ihren Randpunkte $x=-1$ und $x=5$ durchführen.