Aufgabe:
\( \Delta \cdots \quad \cdots \quad \). Seien \( a, b \in \mathbb{R} \). Beweisen Sie:(a) Ist \( a>0 \), so ist \( a^{-1}>0 \).(b) Ist \( 0<a<b \), so ist \( a^{2}<b^{2} \). Sind \( a, b>0 \) mit \( a^{2}<b^{2} \), so ist \( a<b \).2. Es sei \( 0<a \leq b \). Zeigen Sie, dass\( a^{2} \leq\left(\frac{2 a b}{a+b}\right)^{2} \leq a b \leq\left(\frac{a+b}{2}\right)^{2} \leq b^{2} . \)
Willst Du das wissen was im Titel steht, oder das was in der Aufgabe steht?
Ist \( a>0 \), dann multipliziere die Ungleichung mit \( a^{-1} \)
Es entsteht links eine 1 und rechts eine 0, also bleibt es bei 1>0.
Wäre \( a^{-1}<0 \), dann hätte sich das Zeichen umgedreht und
\( a^{-1}=0 \) kann ja auch nicht sein.
Können Sie bitte (b) und 2 machen habe ich auch nicht verstanden ;)
Ist \( 0<a<b \), so ist \( a^{2}<b^{2} \).
Seien \( a, b \in \mathbb{R} \) und \( 0<a<b \)
==> \( 0<b-a \) und wegen \( 0<a<b \) auch \( 0<b+a \)
Produkt zweier positiver ist positiv .
==> \( 0<(b-a) \cdot (b+a)\)
==> \( 0<b^2 -a^2 \) ==> \( b^2 > a^2 \) . q.e.d.
Versuch mal den anderen !
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