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Wie berechne ich das Integral \( \int \limits_{K} f \mathrm{~d} \lambda^{2} \) für \( K=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+(y-1)^{2} \leq 4\right\} \) und \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=x^{2}+3 y^{2}+1 \) ?

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Aloha :)

Die Punkte der Menge$$K=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x^2+(y-1)^2\le4\}$$liegen auf einem Kreis mir Radius \(r=\sqrt4=2\) und Mittelpunkt \(M(0|1)\), und zwar auf der gesamten Fläche und auf dem Rand. Für die Berechnung des Integrals brauchen wir einen Ortsvektor \(\vec r\), der vom Ursprung ausgehend alle Punkte der Fläche abtastet. Wir wählen dazu anstatt der kartesischen Koordinaten \((x;y)\) Polarkoordinaten \((r;\varphi)\):$$\vec r=\binom{0}{1}+\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}=\binom{r\cos\varphi}{1+r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[0;2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]$$

An der Stelle \(\vec r\) können wir mit Hilfe der Kettenregel jede infinitesimale Änderung \(d\vec r\) entlang der neunen Koordinatenachens ausrücken:$$d\vec r=\frac{d\vec r}{dr}\,dr+\frac{d\vec r}{d\varphi}\,d\varphi=\binom{\cos\varphi}{\sin\varphi}dr+\binom{-r\sin\varphi}{r\cos\varphi}d\varphi$$Die von diesen beiden Vektoren aufgespannte Fläche liefert und das Flächenelement \(df\). Wir berechnen es mit der Determinante:$$df=\left|\begin{array}{c}\cos\varphi\,dr & -r\sin\varphi\,d\varphi\\\sin\varphi\,dr & r\cos\varphi\,d\varphi\end{array}\right|=r\cos^2\varphi\,dr\,d\varphi+r\sin^2\varphi\,dr\,d\varphi=r\,dr\,d\varphi$$

Jetzt haben wir alles gesammelt, um das Integral leich berechnen zu können:$$I=\int\limits_K(x^2+3y^2+1)\,d\lambda^2=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(\underbrace{(r\cos\varphi)^2}_{=x^2}+3\underbrace{(1+r\sin\varphi)^2}_{=y^2}+1)\,\underbrace{r\,dr\,d\varphi}_{=d\lambda^2}$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(r^2\cos^2\varphi+\pink3(1+2r\sin\varphi+\pink{r^2\sin^2\varphi})+1)\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(\underbrace{(r^2\cos^2\varphi+\pink{r^2\sin^2\varphi})}_{=\blue{r^2}}+\green3+6r\sin\varphi+\pink{2r^2\sin^2\varphi}+\green1)\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(\blue{r^2}+\green4+6r\sin\varphi+2r^2\red{\sin^2\varphi})\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(r^2+4+6r\sin\varphi+2r^2\cdot\red{\left(\frac12-\frac12\cos(2\varphi)\right)}\right)\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(r^2+4+6r\sin\varphi+r^2-r^2\cos(2\varphi)\right)\,r\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left(r^3(2-\cos(2\varphi))+4r+6r^2\sin\varphi\right)\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\left[r^3\left(2\varphi-\frac12\sin(2\varphi)\right)+4r\varphi-6r^2\cos\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}dr$$$$\phantom{I}=\int\limits_{r=0}^2\left(4\pi r^3+8\pi r\right)dr=\left[\pi r^4+4\pi r^2\right]_0^2=32\pi$$

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Wieder einmal Respekt für deine Leistung. Wie lernst du eigentlich solche Sachen?

Ich versuche eigentlich gerade nicht zu lernen, sondern zu verstehen. Mein Ziel ist immer, den tieferen Sinn eines Sachverhaltes zu begreifen. Dann habe ich ein Bild im Kopf und kann mir damit z.B. Formeln nach Bedarf zusammenbauen.

Ich versuche eigentlich gerade nicht zu lernen, sondern zu verstehen. Mein Ziel ist immer, den tieferen Sinn eines Sachverhaltes zu begreifen. Dann habe ich ein Bild im Kopf und kann mir damit z.B. Formeln nach Bedarf zusammenbauen.

das mache ich ganz genauso. Ich lehne es praktisch ab, irgendwelche Formeln, Algorithmen oder Vorgehensweisen auswendig zu lernen, weil ich es als sinnlos ansehen, wenn ich das was dahinter steckt, nicht verstanden habe. Für den Pythagoras und die pq-Formel reicht es gerade noch ;-) Aber auch die könnte ich jederzeit herleiten.

Das 'Bild im Kopf' halte ich für essentiell.

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