Bestimmen Sie die Schnittgerade der Ebenen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Schnitt der Ebenen

E1 := {(1, 2, 2) + s(1, 0, −2) + t(−1, 1, 0) | s, t ∈ R}

E2 := {(1, 3, 0) + p(−1, 0, 1) + q(2, 1, 1) | p, q ∈ R}

Problem/Ansatz:

Ich habe für beide etwas versucht, aber es hat überhaupt nicht geklappt :(

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe

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Habt ihr schon gelernt, Ebenen aus der Parameterform in die Koordinatenform umzuwandeln. Dann ist diese Aufgabe noch einfacher zu lösen als mit einem Gleichungssystem.

Answer 1

Löse die Gleichung

\( \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix}+ p\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \)

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\( \begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix}+ p\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \)

\(\begin{aligned} 1+s-t &= 1-p+2q \\ 2+t &= 3+q \\ 2-2s &= p+q \\\\ \Longleftrightarrow \quad q&=\frac{p}{7}, \quad s=1-\frac{4 p}{7}, \quad t=\frac{p}{7}+1 \end{aligned}\)

Einsetzen der Lösung für q in die zweite Ebenengleichung:

\(\begin{aligned} E_{1} \cap E_{2}: \quad \begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix}+ p\begin{pmatrix} -1\\0\\1 \end{pmatrix} + \frac{p}{7}\begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix}+ p\begin{pmatrix} -5/7\\1/7\\8/7 \end{pmatrix} \\\\ &= \begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix}+ \lambda\begin{pmatrix} -5\\1\\8 \end{pmatrix} \end{aligned}\)

Im letzten Schritt habe ich den Richtungsvektor der Schnittgeraden noch um den Faktor 7 verlängert, was nichts an der Geraden ändert, aber die Darstellung vereinfacht.

Answer 2

Willkommen in der Mathelounge!

Die Parametergleichungen ergeben das Gleichungssystem

\(1+s-t=1-p+2q\\ 2+t=3+q\\ 2-2s=p+q\)

Alle Unbekannten auf eine Seite gebracht ergibt

\(s-t+p-2q=0\\ t-q=1\Rightarrow \red{t=1+q}\\ -2s-p-q=-2\\ \)

Das Ergebnis für t in die 1. Gleichung eingesetzt ergibt

\(s+p-3q=1\)

Zu dieser Gleichung addierst du die dritte und erhältst

\(-s-4q=-1\Rightarrow \red{s=1-4q}\)

Jetzt ersetzt du s und t durch die Ausdrücke mit q.

\(\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}+(1-4q)\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix}+(1+q)\cdot \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}\)

Damit komme ich auf die Gleichung der Schnittgeraden

\(g:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 1\\3\\0 \end{pmatrix}+q\cdot \begin{pmatrix} -5\\1\\8 \end{pmatrix}\)

Möglich, dass sich bei der ganzen Schreiberei ein Fehler eingeschlichen hat. Rechne lieber nochmal nach und melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Möglich, dass sich bei der ganzen Schreiberei ein Fehler eingeschlichen hat.

Ist nicht der Fall. Das sieht gut aus ;-)

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Wunderbar, das beruhigt mich! Danke auch für die Zeichnung, die du spendiert hast.