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Aufgabe:

Wir betrachten den reellen Vektorraum V := R[X] kleiner gleich 3 der Polynome von Grad kleiner gleich 3, zusammen mit der Abbildung

T: V → R2

f----->f(0)

          f(1)

(a) Zeigen Sie, dass T R-linear ist

(b) Finden Sie eine Matrixdarstellung von T bezüglich der Standardbasen (1, X, X2.X3) und (Vektor (1,0) und (0,1))

Problem/Ansatz: Ich verstehe die Aufgabe nicht. Bitte hilft mir

von

1 Antwort

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T: V → R2

f----->f(0)

        f(1)

Ist ja eine Abbildung, die kann man übersichtlicher so schreiben

\(   T: V \rightarrow ℝ^2  \) mit \( T(f) =\begin{pmatrix} f(0) \\ f(1)\end{pmatrix}  \)

Wenn z.B. f  das Polynom x^2 + 2 ist, dann berechne f(0)=2 und f(1)=3

und du hast  \( T(f) =\begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix}  \)

Es wird also jedem Polynom  mit Grad kleiner gleich 3 eine Element von ℝ^2 zugeordnet.

Für Linearität prüfe mal erst, ob T(f+g) = T(f) + T(g) ist.

von 270 k 🚀

wie mache ich das genau?

\( T(f+g) =\begin{pmatrix} (f+g)(0) \\ (f+g)(1) \end{pmatrix}  \)

Def. der Summe von Abbildungen anwenden gibt

\( =\begin{pmatrix} f(0)+g(0) \\ f(1)+g(1) \end{pmatrix}  \)

Def. von + in ℝ^2 anwenden gibt

\( =\begin{pmatrix} f(0) \\ f(1) \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} g(0) \\ g(1) \end{pmatrix} \)

Def. von T anwenden gibt  \( =  T(f)  +   T(g)   \)

Also T(f+g) = T(f) + T(g).

Versuche nun für alle a∈ℝ und f ∈ ℝ[x]≤3 zu zeigen T(a*f) = a*T(f).

mache ich das genauso wie bei der Linearität? Oder wie? Habe ich danach die aufgabe (a) vollständig bearbeitet? Wie gehe ich bei der (b) voran?

Die beiden Überlegungen begründen die Linearität.

Für b) berechne die Bilder der 4 Basisvektoren und schreibe sie als

Spalten einer Matrix hin.

ok super danke. Kannst du mir die ganze Lösung schicken damit ich nach der Bearbeitung vergleichen kann

Stell dein Ergebnis rein, dann kann man schauen.

super. kann man mein AB irgendwie per mail schicken. Weiß nicht wie ich mein blatt einstelle

Mach ein Foto.

hier findest du dein ersten teilWhatsApp Image 2022-11-19 at 20.54.01.jpeg

Text erkannt:

Autgabe 1: Lintly of
1. wir betrachten den \( \mathbb{R}-V R \quad V=\mathbb{R}[+]_{\rightarrow 3} \) der Polynome won Grad \( \leq 3 \), zsm mit
\( \begin{array}{l} T: W \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \\ \quad f \rightarrow(f(0)) \end{array} \)
(a) Zeigan Sie, dass \( T \) |IR-emead cist
\( \begin{array}{l} \text { T: } \mathbb{R}[\not]_{\leq 3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \quad f \rightarrow(f(1)) \\ \begin{array}{c} \left\{a^{2} d+a_{1} x+a_{2} \cdot x^{2}+a_{3} \cdot x^{3} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R}\right\} \\ \mathbb{R}+\mathbb{R} \end{array} \\ T(f)=\left(\begin{array}{l} f(0) \\ f(1) \end{array}\right) \\ \end{array} \)
Limeartat \( T(f+g)=\left(\begin{array}{ll}(f+g) & (0) \\ (f+g) & (1)\end{array}\right) \)
Def des Summe vou AbB anwenda ribt
\( \begin{array}{l} =(f(0)) d(g(1)))\left(\begin{array}{l} f(0)+g(0) \\ f(1)+g(1) \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{l} f(0) \\ f(1) \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} g(0) \\ g(1) \end{array}\right) \\ \forall a \in \mathbb{R} \quad 1 \quad \forall f \in \mathbb{R}[t] \leq_{3} \\ \text { z.z. } T(a \cdot f)=a T(f) \\ \end{array} \)

hier ist der zweite Teilil habe es probiert . Bitte um VerbesserungWhatsApp Image 2022-11-19 at 20.53.52.jpeg

Text erkannt:

\( \operatorname{seien}^{\circ}\left(\frac{f(q)}{f(1)}\right) \in \mathbb{R}^{2} \wedge a \in V \)
Dann gelt
\( \begin{aligned} f(a(f(0))) &=f\left(\begin{array}{l} a \cdot(0) \\ f(1) \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{l} a \cdot f(0) \\ a \cdot f(1) \end{array}\right) \\ &=a \cdot f(0)+a \cdot f(1) \\ &=a \cdot(f(0)+f(1)) \\ &\operatorname{mav}(f)) \\ &=a \cdot\left(\begin{array}{l} f(0) \\ f(1) \end{array}\right)=a \cdot T(f) \end{aligned} \)
3) \( \left\{1, x_{1} x^{2}, x^{3}\right\} \in V \)
\( x\left(x^{3}\right) \)
\( T(1), T(x), T\left(x^{2}\right), T\left(x^{3}\right) \in \mathbb{R}^{2} \)
wern \( x \in V \) hoonen wir ihn als Limeackombination \( +3 x_{1} \cdot 1+\ldots+x_{4} \cdot x^{3} \)
\( \Rightarrow \) wegen der Linearitat
\( f(x)=x_{1} \cdot T(1)+\ldots+x y \cdot T\left(x^{3}\right) \)

2. Teil von a) ist falsch.

Muss so heißen:  T und f nicht verwechseln !

z. zeigen T(a*f) = a*T(f) für alle a∈ℝ und f∈V.

\(  T(a*f) = \left(\begin{array}{l} af(0) \\ af(1) \end{array}\right) \)

Def. von af anwenden gibt

 \(  = \left(\begin{array}{l} a\cdot f(0) \\ a\cdot f(1) \end{array}\right) \)

Def. S-Multiplikation in R^2

\(  =a \cdot \left(\begin{array}{l}  f(0) \\  f(1) \end{array}\right) \)

Def. von T

\(  =a \cdot T(f) \)

b) \(T(1), T(x), T\left(x^{2}\right), T\left(x^{3}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) ✓

Aber jetzt ausrechnen :

\(  T(1) = \left(\begin{array}{l} 1(0) \\ 1(1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) \)

Das ist die erste Spalte der gesuchten Matrix !

\(  T(x) = \left(\begin{array}{l} x(0) \\ x(1) \end{array}\right) = \left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right) \)

Das ist die zweite Spalte der gesuchten Matrix !  etc.

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