Beweisen Sie mit Hilfe der multivariaten Kettenregel

Question

Aufgabe:

Es sei \( D \subseteq \mathbb{R}^{n} \) offen, und die Abbildungen \( a: D \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) und \( b: D \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) seien differenzierbar. Betrachten Sie die Funktion \( f: D \rightarrow \mathbb{R} \), die durch \( f(x)=\langle a(x), b(x)\rangle \) für alle \( x \in D \) definiert ist. Beweisen sie mithilfe der multivariaten Kettenregel:

\( \nabla f(x)^{\top}=b(x)^{\top} J a(x)+a(x)^{\top} J b(x) \text { für alle } x \in D . \)

Hinweis: Betrachten Sie die Funktion \( p: \mathbb{R}^{2 m} \rightarrow \mathbb{R}, v \mapsto \sum \limits_{i=1}^{m} v_{i} v_{m+i} \) und die Abbildung \( g: D \rightarrow \mathbb{R}^{2 m}, x \mapsto\left(a_{1}(x), \ldots, a_{m}(x), b_{1}(x), \ldots, b_{m}(x)\right)^{\top} \)

Answer 1

Hallo,

um Schreibarbeit zu sparen, zerlegen wir den \(\mathbb{R}^{2m}\) in \(\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^m\) und benutzen naheliiegende Schreibkonventionen.

Zum Beispiel sei

$$v=\begin{pmatrix} y\\z \end{pmatrix}, \text{  dann }p(v)=y^Tz$$

Für die Ableitung erhält man damit

$$p'(v)=(z^T \quad y^T) \text{ (als Zeilenvektor)}$$

Analog ist die Ableitung von g:

$$g'(x)=\begin{pmatrix} Ja(x)\\Jb(x) \end{pmatrix}$$

Damit liefert die Kettenregel

$$f'(x)=p'(g(x))g'(x)=(b(x)^T \quad a(x)^T)\begin{pmatrix} Ja(x)\\Jb(x) \end{pmatrix}$$

Wie gewünscht