Lösen Sie die Aufgabe mit Hilfe von Additionstheoremen

Question

Lösen sie die Aufgabe mithilfe von Additionstheoreme

sin(x+\( \frac{π}{4} \))=\( \frac{1}{\sqrt{2}} \)*(sin(x)+cos(x))

eigentlich hab ich soweit Verstanden wie man diese Aufgabe löst aber der zweite Teil macht mir ein wenig Kopfschmerzen. Ich weiß nicht so recht wie ich den mithilfe der Additionstheoreme lösen soll, weil davor ja \( \frac{1}{\sqrt{2}} \). Hat jemand einen Tipp vielleicht wie man das vereinfachen kann?

Gruß

Comments

Was liefert denn das Additionstheorem für sin für die linke Seite?

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Also Links habe ich:

sin(x)*cos(\( \frac{π}{4} \))+sin(\( \frac{π}{4} \))*cos(x)

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Guck mal hier:

https://www.matheretter.de/wiki/additionstheoreme

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Die Werte der trigonometrischen Funktionen für \(\pi/4\) sollte man kennen, sich geometrisch herleiten können und spätestens jetzt für immer einprägen ....

Answer 1

Aloha :)

$$\sin\left(x+\frac\pi4\right)=\frac{1}{\sqrt2}\left(\sin x+\cos x\right)\quad\big|\text{Additionstheorem links}$$$$\sin x\cos\frac\pi4+\sin\frac\pi4\cos x=\frac{1}{\sqrt2}\left(\sin x+\cos x\right)\quad\big|\sin\frac\pi4=\cos\frac\pi4=\frac{1}{\sqrt2}$$$$\frac{1}{\sqrt2}\sin x+\frac{1}{\sqrt2}\cos x=\frac{1}{\sqrt2}\left(\sin x+\cos x\right)\quad\big|\cdot\sqrt2$$$$\sin x+\cos x=\sin x+\cos x$$Die Beziehung ist eine Identität und gilt für alle \(x\in\mathbb R\).