Holzbretter und Wasserkanalquerschnitt

Question

Aufgabe:

Aus drei Brettern der Breite g soll ein Kanal mit maxi- malem Fassungsvermögen gebaut werden. Hierfür muss der Flächeninhalt Q des trapezförmigen Querschnittes des Kanals maximiert werden (vgl. Skizze).

Wie muss der Winkel α (in der Skizze) gewählt werden, damit der Flächeninahlt Q maximal wird?

Gehen Sie zur Lösung des Problems wie folgt vor:

(i) Begründen Sie, dass der Flächeninhalt Q (mit den Bezeichnungen aus der Skizze) gegeben ist durch Q = gh(1 + sin(α)).

(ii) Beschreiben Sie Q als Funktion einer Variablen, indem Sie die Höhe h in Abhängigkeit des Winkels α ausdrücken und überlegen Sie sich einen geeigneten Parameterbereich für α.

(iii) Führen Sie die notwendige Bedingung für ein Maximum (im Inneren des Parameterbereiches) auf die Gleichung 2x2 + x − 1 = 0 mit x = sin(α) zurück und lösen Sie diese unter den gegebenen Nebenbedingungen.

(iv) Aus Teil (iii) erhalten Sie als einzigen Kandidaten den Winkel α = π6 . Überprüfen Sie, ob es sich hierbei tatsächlich um die Lösung des gegebenen Maximierungsproblems handelt und bestimmen Sie den maximalen Flächeninhalt für Q.

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand dabei helfen  ?

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vgl. https://www.mathelounge.de/929641

Answer 1

Aus drei Brettern der Breite g soll ein Kanal mit maximalem Fassungsvermögen gebaut werden. Hierfür muss der Flächeninhalt Q des trapezförmigen Querschnittes des Kanals maximiert werden (vgl. Skizze). Wie muss der Winkel α (in der Skizze) gewählt werden, damit der Flächeninahlt Q maximal wird? Gehen Sie zur Lösung des Problems wie folgt vor:
(i) Begründen Sie, dass der Flächeninhalt Q (mit den Bezeichnungen aus der Skizze) gegeben ist durch Q = gh(1 + sin(α)).

$sin(α)=\frac{k}{g}$      $k=sin(α)*g$   

$Q=g*h+2*h*k$       $Q=g*h+h*g*sin(α)$       $Q=g*h*(1+sin(α))$

(ii) Beschreiben Sie Q als Funktion einer Variablen, indem Sie die Höhe h in Abhängigkeit des Winkels α ausdrücken und überlegen Sie sich einen geeigneten Parameterbereich für α.

$Q=g*h*(1+sin(α))$        $cos(α)= \frac{h}{g}$     $h=cos(α)*g$

Parameterbereich: $α<90°$

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Vielen Dank !