0 Daumen
109 Aufrufe

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Taylorreihe am Entwicklungspunkt x0 = 0 für die Funktion f(x) = cosh(x).

Zeigen Sie auch, dass die Reihe für jedes x ∈ R tatsächlich gegen den Funktionswert f(x) konvergiert, d. h. zeigen Sie, dass das Restglied R0m f(x) für  m → ∞ für alle x ∈ R verschwindet.

Problem/Ansatz:

Die Taylorreihe habe ich bestimmt, meine Lösung: ∑ k=0 gegen ∞   1/(2*n)!  *x2k . Ich verstehe den restlichen Teil der Aufgabe nicht ganz... Kann mir da jemand helfen?

von

Vielleicht kannst Du mal in Dein Lehrmaterial schauen, wie Ihr \(R^0_m f(x)\) notiert habt.

Ich habe folgendes gefunden, bin mir nicht ganz sicher ob es das ist:

Rx0m+1  f(x) = O (|x-x0|m+1 )

Könnte es das sein? Wenn ja wie mache ich weiter?

Oder doch eher das:

Rx0m+1  f(x)= fm+1 (ξ) / (m+1)! × (x-x0)m+1

Das ist nicht, was wir brauchen.

Irgendwo sollte ein Satz auftauchen mit einer Formel

F(x)= Taylorpolynom+Restglied

Das müsste dann wohl folgendes sein:

f(x)= Tm x0  f(x) + Rx0m+1 f(x)

Ja und dann muss da stehen R=....

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Ich sehe gerade, dass ich einen Deiner KOmmentare nicht richtig erfasst habe (oder doch etwas... - evtl. Überschneidung mit meinem Kommentar.

Wir haben also jetzt - konkret

$$\cosh(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{(2k)!}x^{2k}+R_{2n+1}(x)$$

Wenn wir jetzt wissen, dass \(R_{2n}(x) \to 0 (n \to \infty)\), dann folgt die Darstellung des cosh durch die Taylorreihe:

$$\cosh(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k)!}x^{2k}$$

Für das Restglied gilt nun - die Abeleitung von cosh mit ungeradem Index ist sinh:

$$R_{2n+1}(x)=\frac{1}{(2n+1)!}f^{(2n+1)}(\xi)(x-0)^{2n+1}=\frac{1}{(2n+1)!}\sinh(\xi)(x-0)^{2n+1}$$

Wenn wir das für positive x weiter verfolgen: Wir wissen, dass \(\xi\) zwischen 0 und x liegt. Da wir keine weitere Info haben, schätzen wir ab (sinh ist im Positiven wachsend):

$$|R_{2n+1}(x)|=\frac{1}{(2n+1)!}\sinh(x)(x-0)^{2n+1}$$

Jetzt brauchen wir nur noch wissen, dass

$$a_n:=\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \to 0 , \text{ für }n \to 0$$

Das kann man aber leicht sehen.

Bemerkung: Hier hängt die Ableitung nicht von n ab, das hat die Sache wesentlich vereinfacht.

von 9,2 k

Danke sehr, hilft mir weiter!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community