In welchen x∈R konvergiert die Taylorreihe gegen die Funktion?

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Taylorreihe von f(x)=5^x mit Entwicklungs Punkt x₀ = 0 In welchen x∈R konvergiert die Taylorreihe gegen die Funktion? D.H. in welchen x∈R gilt

\( \lim\limits_{n\to\infty} \) Rn(x) = 0?

Problem/Ansatz:

Für die Taylorformel habe ich folgendes raus: T_n (x) = \(\sum\limits_{k=0}^n \frac{\ln^k(5)\cdot 5^0}{k!}\cdot x^k\)= \(\sum\limits_{k=0}^n \frac{\ln^k(5)}{k!}\cdot x^k\).

Rn(x) bilde ich mit : (f⁽ⁿ⁺¹⁾ (ξ) / (n+1)! ) * (x-0)ⁿ⁺¹

^{Wenn man jetzt einfach x = 0 nimmt wäre das Problem gelöst, denn dann käme 0 raus. So wie ich die Aufgabe lese steht aber "in welchen x" was für mich mehrere x meint}

^{Mein erstes Problem wäre also einmal ein ξ (Ist das nen "Psi"?) zu finden, welches ja dann zwischen x und 0 liegt}

^{Zweitens ist ja über all ein n, dass gegen unendlich geht...   da dürfte es doch eigentlich nicht mehr reichen zu sagen, dass ein 0 <= x < 1 hoch unendlich 0 ergibt?}

^{Denn 0,9 Periode würd in meinen Augen schrumpfen, wenn man es unendlich oft mit sich selbst multipliziert oder denke ich da jetzt zu sehr drüber nach?}

In erster Linie suche ich also einen Denkanstoß, um weiter zu machen. Wenn wer die Aufgabe vollständig lösen möchte habe ich damit auch kein Problem ^^

Nur für denn Fall, dass jetzt noch wer online ist... werde mich erst nach dem schlafen wieder melden...

Gruß Marc

Comments

Hey MrMarc, du machst nicht zufällig aktuell AnaLina1 an der TU Berlin? :D

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https://www.mathelounge.de/687730/taylorreihe-von-f-x-5-x-mit-entwicklungspunkt-x0-0#a687735

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100 Punkte ^^

Answer 1

Betrachte die Bildungsvorschrift der Summanden und prüfe damit die Konvergenz der Reihe nach. Dies machst du mit einer der Konvergenzkriterien, die du von Reihen kennst.

Mit dem Restglied R_n betrachtet man den Fehler, der bei der Approximation von einer Funktion auf einem Intervall, maximal gemacht wird. Dieser griechische Buchstabe ξ gesprochen als Xi liegt bei dem Abschätzen dieses Fehlers immer zwischen dem Entwicklungspunkt x₀ und x.

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Danke erstmal für deine Antwort

Werde ich gleich ausprobieren!

Was mir grade eingefallen ist, wo ich mir aber nicht sicher bin...

ln(5) ist ja rund 1,6 liegt also zwischen 1 und 2

Wenn man jetzt nur Beispiel Haft 2 hoch „unendlich“ nimmt ist das doch viel viel kleiner als (n+1)! Wenn n gegen unendlich läuft?

Ich weiß nicht, ob mir das was bringt, aber kam mir gerade so

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Wenn man jetzt nur Beispiel Haft 2 hoch „unendlich“ nimmt ist das doch viel viel kleiner als (n+1)! Wenn n gegen unendlich läuft?

Im Prinzip schon, so wie du das beschreibst. Aber es führt nicht zum Ziel, bzw. wird dir nicht viel bringen. Es sei, du zeigst, dass die Reihe

\(\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{2^k}{k!}\cdot x^k \) konvergiert. Damit kannst du mit dem Majorantenkriterium zeigen, dass auch die aus deiner Aufgabe konvergieren muss.

Answer 2

Hallo,

$$5^x=e^{ln(5)x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{ln(5)^k x^k}{k!}$$

Das die Exponentialreihe für alle x konvergiert, weißt du hoffentlich. Ansonsten rechnest du den Konvergenzradius gemäß

$$R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_{n+1}}{a_n}|$$

nach.

Comments

Dir auch vielen Dank für die Antwort, allerdings verstehe ich etwas nicht...

Das 5^x = e^ln(5)*x ist weiß ich

Aber wie bist du dann auf diese Summe gekommen? Die verstehe ich leider nicht so ganz...

Oder muss ich noch das n unter Summe mit k tauschen und das unendlich dadrüber auch? Denn dann kommt mir die Summe bekannt vor. Müsste ich ins Skript gucken

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Aber wie bist du dann auf diese Summe gekommen? Die verstehe ich leider nicht so ganz...

Häh? Das ist dasselbe Ergebnis  wie du raus hast ;).

Taylorreihe zur Exponentialfunktion ist auch gleichzeit deren Definition:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Exponentialfunktion

Dort setzt du für x---> ln(5)*x ein.

Die Taylorreihe ist eine unendliche Reihe. Du hast lediglich als obere Grenze n falsch.

Mit dem Restglied musst du hier nicht arbeiten, wenn ihr den Begriff des Konvergenzradius schon kennt.

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Über den Konvergenzradius bin ich Tatsache auch schon gestolpert, aber den hatten wir noch nicht in der Vorlesung, weshalb ich mal davon ausgehe, dass wir ihn nicht nutzen dürfen...

Werde aber noch mal prüfen, ob wir ihn Tatsache noch nicht hatten

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Ahhhhhh

Ich glaube habe jetzt verstanden, was du meinst ^^ (Hatte ne Runde Pause geamcht und mich jetzt mit "leerem Kopf" noch mal rangesetzt)

Wie du geschrieben hattest und wir es auch in der VL hatten konvergiert die Taylorreihe der Exponentialfunktion für n gegen unendlich für jedes x

Da \( \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{ln(5)^k x^k}{k!} \) ja eine Exponentialfunktion ist muss diese doch auch konvergieren und da wir Beweise aus der VL nutzen dürfen kann man doch damit argumentieren?

Gruß ^^

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Hallo,

ja das ist auch ein passendes Argument