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Aufgabe:

Untersuchen Sie in Abhängigkeit von den Parametern a,b∈R , ob die Folge konvergiert. Im Fall der Konvergenz Bestimmen Sie den Grenzwert.

\( \left(\left(a+\frac{b}{n}\right)^{n}\right)_{n \in N} \)

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Es ist \(  \lim\limits_{n \to \inf }  \left(\left(1+\frac{b}{n}\right)^{n}\right) = e^b \)

Das wäre der Fall a=1 und b beliebig.

Für a=0 hat man

\(\left(\frac{b}{n}\right)^{n} = \frac{b^n }{n^n } \)  also immer Grenzwert 0.

Für a≠0 hat man

\( \left(a+\frac{b}{n}\right)^{n} =  \left(a \cdot \left(1+\frac{\frac{b}{a}}{n}\right)\right) ^n =  a^n \cdot \left(1+\frac{\frac{b}{a}}{n}\right)^n \)

geht also für |a|<1 gegen 0 und ist für a < -1 nicht konvergent

und geht für a>1 gegen Unendlich .

von 265 k 🚀

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