Zeigen Sie, dass die Abbildung wohldefiniert, linear und bijektiv ist.

Question

Aufgabe:

Seien V, W zwei K-Vektorräume und f: V → W eine surjektive lineare Abbildung. Weiter seien W1 ⊂ W ein Untervektorraum und V1 := f-1(W1). Zeigen Sie, dass die Abbildung

V/V1, → W/W1,      v+V1 ↦ f(v) + W1

wohldefiniert, linear und bijektiv ist

Problem/Ansatz:

Ich finde für diese Aufgabe leider keinen Ansatz und wäre deshalb sehr dankbar für mögliche Tipps oder Vorschläge, wie ich an die Sache rangehen könnte. Dankeschön!

Answer 1

Zur Wohldefiniertheit:

Seien \(u,v\in V\) und \(u+V_1=v+V_1\). Dann gilt \(u-v\in V_1\), also

\(f(u-v)\in f(V_1)\subseteq W_1\), mithin \( f(u)-f(v)=f(u-v)\in W_1\)

und somit \(f(u)+W_1=f(v)+W_1\), q.e.d.

Der Beweis der Linearität sollte dir nicht schwerfallen.

Die Bijektivität ist nichts anderes als der sogenannte

Homomorphiesatz.