Startwert für eine definierte Folge ermitteln

Question

Aufgabe:

Für einen beliebigen Startwert a_0 element ℝ betrachte man die durch

a_n+1 = a²_n -a_n +1   rekursiv definierte Folge a_n

Man soll zeigen

a) für alle Startwerte a_0 element R ist die Folge a_n monoton wachsend

b) für alle Startwerte a_0 element [0,1] konvergiert die Folge a_n gegen den Grenzwert 1

Comments

Zu a)  \(a_{n+1}-a_n=a_n^2-a_n+1-a_n=a_n^2-2a_n+1=(a_n-1)^2\ge0\).

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Danke dir, und wie zeige ich die Folge bei der Aufgabe b

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Dazu formuliere die Rekursion wie folgt um: \(a_{n+1}=\big(a_n-\tfrac12\big)^2+\tfrac34\).
Stelle damit fest, dass die Folge nach oben durch \(1\) beschränkt ist.

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Heyy und wie zeige ich bei der selben Folge:

Für alle Startwerte a_0 = R \ [0,1] ist die Folge a_n bestimmt divergent gegen + unendlich