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Aufgabe:

Es sei (Ω,A,P) (\Omega, \mathcal{A}, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω{2,1,0,1,2} X: \Omega \rightarrow\{-2,-1,0,1,2\} eine Zufallsvariable
P{X=2}=P{X=1}=P{X=1}=P{X=2}=18 und P{X=0}=12 P\{X=-2\}=P\{X=-1\}=P\{X=1\}=P\{X=2\}=\frac{1}{8} \text { und } P\{X=0\}=\frac{1}{2}
(a) Zeigen Sie, dass X X und X2 X^{2} nicht stochastisch unabhängig sind.
(b) Berechnen Sie Cov(X,X2) \operatorname{Cov}\left(X, X^{2}\right) .


Problem/Ansatz:

Wie ich auf stochastische Unabhängigkeit prüfe und auch wie ich die Kovarianz berechne, weiß ich grundsätzlich. Allerdings stehe ich irgendwie gerade aus dem Schlauch wie ich X2X^{2} bestimme und damit dann die Aufgaben erledige.

Und wo ich mir auch nicht ganz sicher bin: Muss ich P(X)=1P(X)=1 verwenden?

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Allerdings stehe ich irgendwie gerade aus dem Schlauch wie ich X2X^{2} bestimme

X2 :  Ω{0,1,2}, ω(X(ω))2 X^2:\ \Omega \rightarrow\{0,1,2\},\ \omega \mapsto (X(\omega))^2

Muss ich P(X)=1P(X)=1 verwenden?

Der Ausdruck P(X)P(X) ergibt keinen Sinn. XX ist eine Zufallsvariable, kein Ereignis.

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Danke schonmal!

Nun bin ich aber leider etwas verwirrt. Denn in der Vorlesung hatten wir bislang nur stochastische Unabhängigkeit für Ereignisse geprüft.

Wie mache ich das denn bei Zufallsvariablen?

Irgendwo in deinen Unterlagen müsste stehen, dass zwei Zufallsvariablen X : ΩE1X:\Omega \to E_1 und Y : ΩE2Y:\Omega \to E_2 in die Messräume (E1,Σ1)(E_1, \Sigma_1) bzw. (E2,Σ2)(E_2,\Sigma_2) genau dann stochastisch unabhängig heißen, wenn die Ereignisse X1(B1)X^{-1}(B_1) und Y1(B2)Y^{-1}(B_2) für alle B1Σ1B_1\in \Sigma_1 und alle B2Σ2B_2\in \Sigma_2 stochastisch unabhängig sind.

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