Parameterdarstellung und bestimmen einer Basis von U, V, U ∩ V und U + V

Question

Aufgabe:

Parameterdarstellung einer Basis

Problem/Ansatz:

Es seien U := {x ∈ R ³ | _x1 + 2_x2 − _x3 = 0}  und V := {x ∈ R ³ | _x1 − 2_x2 + 2_x3 = 0} zwei Ebenen

a) Geben Sie eine mögliche Parameterdarstellung der Ebenen U und _V an.

b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis von U, V, U ∩ V und U + V

Hey,

Ich hätte 2 Fragen zu diesem Problem. Soll ich für Parameterdarstellung U ( 1 2 1) , V (1 2 2) schreiben und direkt einen Graphen zeichnen? Und Soll ich das anhand der kanonischen Basis feststellen

LG

Answer 1

Hallo

nein die Parameterdaestelllung ist Aufpunkt + r *Richtungsvektor1+s*Richtungsvektor 2 , hier der Aufpunkt 0,

und (1,2,1) liegt nicht in U den 1*1+2*2-1*1≠0, U hat da nur eine Bedingung vorliegt die Dimension 2, da steht ja auch Ebene.

Gruß lul

Comments

Ach so! Aber warum 0? Hast du einen Lösungsvorschlag?

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Hallo

Weil (0,0,0) die Gleichung erfüllt, also in der Ebene liegt. suche 2 linear unabhängige Vektoren die die Bedingung erfüllen z.B. mal mit x1=0 mal mit x2=0

Gruss lul

Answer 2

Aloha :)

zu a) Alle Vektoren aus $U$ erfüllen die Bedingung: $x_1+2x_2-x_3=0$.

Diese stellst du nach $x_1$ um: $x_1=-2x_2+x_3$

Und schreibst alle Vektoren aus $U$ explizit hin:$$U\colon\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_2+x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$$

Das wiederholst du für $V$ mit $x_1-2x_2+2x_3=0$ bzw. $x_1=2x_2-2x_3$$$V\colon\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_2-2x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=x_2\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}$$

zu b) Eine Basis zu $U$ und $V$ haben wir unter (a) bereits bestimmt. Es sind die jeweiligen Richtungsvektoren in der Ebenengleichung.

Ein Vektor $\vec x$ aus der Schnittmenge $U\cap V$ muss beide Bedingungsgleichungen erfüllen:$$(x_1=\green{-2x_2+x_3})\;\land\; (x_1=\red{2x_2-2x_3})\implies\green{-2x_2+x_3}=\red{2x_2-2x_3}\implies3x_3=4x_2$$Ein Punkt in der Schnittmenge $U\cap V$ muss also zusätzlich zu $x_1=-2x_2+x_3$ für die Mitgliedschaft in $U$ noch die Bedinung $x_2=\frac34x_3$ für die Mitgliedschaft in $V$ erfüllen:$$U\cap V\colon\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2x_2+x_3\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\cdot\frac34x_3+x_3\\[1ex]\frac34x_3\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac12x_3\\[1ex]\frac34x_3\\x_3\end{pmatrix}=\frac{x_3}{4}\begin{pmatrix}-2\\3\\4\end{pmatrix}$$Die Schnittmenge $U\cap V$ ist also eine Gerade, ein möglicher Basisvektor ist der gerade bestimmte Richtungsvektor dieser Geraden.

Da sich beide Ebenen $U$ und $V$ in einer Geraden schneiden, sind sie nicht parallel zueinander und überdecken gemeinsam den gesamten $\mathbb R^3$. Daher ist $\,U+V=\mathbb R^3$ und du kannst die kanonische Basis angeben.