Wie kann man zeigen, dass a_n = \frac{1}{2n} eine Nullfolge ist?

Question

Wie kann man zeigen, dass $a_n = \frac{1}{2^n}$ eine Nullfolge ist? Man weiß ja bereits, dass $\frac{1}{n}$ eine Nullfolge ist, und dass man es mit der Epsilon-Definition beweisen kann. Aber wie würde so etwas aussehen mit n als Potenz? z.B.  $\frac{1}{2^n}$? Wie wählt man N?

Answer 1

$a_n = \frac{1}{2^n}$ ist eine Nullfolge

<=>  Zu jedem ε>0 gibt es ein N mit n>N ==>   $| \frac{1}{2^n} - 0 | \lt \varepsilon$

Sei also ε>0   ==>    $| \frac{1}{2^n} - 0 | \lt \varepsilon$

                          <=>    $\frac{1}{2^n} \lt \varepsilon$

                      <=>    $ln( \frac{1}{2^n} ) \lt ln( \varepsilon )$

                      <=>    $n \cdot ln( \frac{1}{2} ) \lt ln( \varepsilon )$

                           Bedenke <=>    $ln( \frac{1}{2} ) \lt 0$

                     <=>    $n \gt ln( \varepsilon ) \cdot ln( \frac{1}{2} )$

          Also ist   $| \frac{1}{2^n} - 0 | \lt \varepsilon$ für   $n \gt ln( \varepsilon ) \cdot ln( \frac{1}{2} )$ erfüllt.

Wähle also N als natürliche Zahl   $\ge ln( \varepsilon ) \cdot ln( \frac{1}{2} )$,

die es nach dem Axiom des Archimedes gibt.