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Wie kann man zeigen, dass an=12na_n = \frac{1}{2^n} eine Nullfolge ist? Man weiß ja bereits, dass 1n\frac{1}{n} eine Nullfolge ist, und dass man es mit der Epsilon-Definition beweisen kann. Aber wie würde so etwas aussehen mit n als Potenz? z.B.  12n\frac{1}{2^n}? Wie wählt man N?

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an=12na_n = \frac{1}{2^n} ist eine Nullfolge

<=>  Zu jedem ε>0 gibt es ein N mit n>N ==>   12n0<ε| \frac{1}{2^n} - 0 | \lt \varepsilon

Sei also ε>0   ==>    12n0<ε| \frac{1}{2^n} - 0 | \lt \varepsilon

                          <=>    12n<ε \frac{1}{2^n} \lt \varepsilon

                      <=>    ln(12n)<ln(ε) ln( \frac{1}{2^n} ) \lt ln( \varepsilon )

                      <=>    nln(12)<ln(ε) n \cdot ln( \frac{1}{2} ) \lt ln( \varepsilon )

                           Bedenke <=>    ln(12)<0 ln( \frac{1}{2} ) \lt 0

                     <=>    n>ln(ε)ln(12) n \gt ln( \varepsilon ) \cdot ln( \frac{1}{2} )

          Also ist   12n0<ε| \frac{1}{2^n} - 0 | \lt \varepsilon für   n>ln(ε)ln(12) n \gt ln( \varepsilon ) \cdot ln( \frac{1}{2} ) erfüllt.

Wähle also N als natürliche Zahl   ln(ε)ln(12) \ge ln( \varepsilon ) \cdot ln( \frac{1}{2} ) ,

die es nach dem Axiom des Archimedes gibt.

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