Entscheiden Sie, welche der folgenden Abbildungen linear sind

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie, welche der folgenden Abbildungen linear sind. Begründen Sie Ihre
Antworten.
(a) f : R3 → R : \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \)  ↦→ x + y − 2z.

(b) f : R2 → R2 : \( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)  ↦→ \( \begin{pmatrix} x2 \\ y2 \end{pmatrix} \)

(c) f : R2 → R3 :\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \)  ↦→ \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

(d) f : R2 −→ R2 :\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) ↦−→ \( \begin{pmatrix} x +2y \\ x + y \end{pmatrix} \)

(e) f : R2 → R2 :\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) ↦−→ :\( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Was heißt linear?

Answer 1

Eine Abbildung \(\varphi:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m\) ist linear, wenn für alle \(\alpha\in \mathbb{R}\) und alle \(v,w\in\mathbb{R}^n\) gilt:

        \(\begin{aligned}f(v+w)&=f(v)+f(w)\\f(\alpha\cdot v) &= \alpha \cdot f(v)\end{aligned}\)

Das sollte aber auch in deinen Unterlagen stehen.

Answer 2

f : V → W  linear heißt:

Für alle u,v∈V gilt f(u+v)=f(u)+f(v) und für x∈ℝ auch f(x*v)=x*f(v).

Bei a etwa so f : R^3 → R : \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \)  ↦ x + y − 2z.

Wenn u und v etwa so aussehen \( u= \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix} \) und \( v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \)

Dann ist \( u+v=\begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2\\ u_3+v_3 \end{pmatrix} \)

Und nun vergleiche f(u+v)  und  f(u)+f(v)

\( f(u+v)=\begin{pmatrix} u_1+v_1 \\ u_2+v_2\\ u_3+v_3 \end{pmatrix} = (u_1+v_1)+( u_2+v_2) + 2( u_3+v_3) \)

und

\( f(u)+f(v)= (u_1+u_2+2u_3) +(v_1+v_2+2v_3) \)

Wenn du die gängigen Regel zum Klammer auflösen etc. anwendest, wirst du sehen:

Beides ist gleich, also f(u+v)=f(u)+f(v) erfüllt.

Zu f(x*v)=x*f(v)  entsprechend

\( f(x*v)=f(\begin{pmatrix} x*v_1 \\ x*v_2\\ x*v_3 \end{pmatrix} = (xv_1)+( xv_2) + 2(x*v_3) \)  und

\( f(v)= x*(v_1+v_2+2v_3) \) da passt es auch. Also f linear.

Wenn  das x2 bei b) ein x^2 sein sollte, wirst du sehen: Da klappt es nicht !