Question

Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Begründen Sie Ihre Antwort.

(a) $L: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2},(x, y) \mapsto(2 x+y, y-1)$.
(b) $L: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3},(x, y, z) \mapsto(x-z, y+2 x, x)$.
(c) $L: \mathbb{R}^{n \times n} \longrightarrow \mathbb{R}^{n \times n}, A \mapsto T A$ mit einer festen Matrix $T \in \mathbb{R}^{n \times n} .$
(d) $L: \operatorname{Pol}(\mathbb{R}) \longrightarrow \operatorname{Pol}(\mathbb{R}), f \mapsto 3 f^{\prime \prime}+f^{\prime}-2 f$, wobei $f^{\prime}(x)=d f(x) / d x$ die Ableitung von $f$ bezeichnet.

Answer 1

a) nicht linear, weil L(0,0) ≠ (0,0)

b) ist linear, zeige L ( (a,b,c)+(x,y,z) ) = L(a,b,c) + L(x,y,z)

und L( k*(x,y,z) ) = L ( kx,ky,kz)  für alle k∈ℝ.

c) ist linear T(A+B) = TA + TB und T*(k*A) = k*(T*A)

d) auch linear, denn L(f+g) = 3(f+g)'' +(f+g)' -2(f+g)

       = .... =  (3f'' + f'  -2f ) + ( 3g'' + g' - 2g ) = L(f)+L(g)

und k*f entsprechend.

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