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Aufgabe:

Es seien V ein Vektorraum mit dim V = n < ∞ und U1,U2,...,Ur Unterräume von V, deren
Summenraum ganz V ist.

Beweise:
V=U1⊕U2⊕···⊕Ur ⇔ dim U1+dim U2+···+dim Ur = n.

Beweise auch:

–Spezialfälle r=2 und r=3

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V=U1⊕U2⊕···⊕Ur

Wähle in jedem Ui eine Basis, die hat also jeweils dim(Ui) Elemente

und zeige dass alle diese Basisvektoren zusammen eine Basis von V

bilden.

<==>  dim U1+dim U2+···+dim Ur = n.

r=2, also V=U1⊕U2

<==>  Jedes v∈V ist eindeutig als Summe u1+u2 mit u1∈U1 und u2∈U2  
darstellbar.

Sind B1 und B2 Basen von U1 bzw. U2 dann sind wiederum

u1 und u2 eindeutig als Linearkombinationen von B1 bzw. B2 darstellbar.

Also ist jedes v∈V ist eindeutig als Linearkombination der Familie, die

als Zusammenfügung von B1 und B2 entsteht, darstellbar.

<=> Diese "Zusammenfügung" ist eine Basis von V.

Und B1 hat dim(U1)  und B2 hat dim (U2) Elemente.

Avatar von 287 k 🚀

Müsste man nicht die Implikation von beiden Seiten eben zeigen. Oder genügt das schon als Beweis?

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