Vektorraum mit dimV = n < ∞ und U1,U2,...,Ur Unterräume von V

Question

Aufgabe:

Es seien V ein Vektorraum mit dim V = n < ∞ und U₁,U₂,...,U_r Unterräume von V, deren
Summenraum ganz V ist.

Beweise:
V=U₁⊕U₂⊕···⊕U_r ⇔ dim U₁+dim U₂+···+dim U_r = n.

Beweise auch:

–Spezialfälle r=2 und r=3

Answer 1

V=U1⊕U2⊕···⊕Ur

Wähle in jedem U_i eine Basis, die hat also jeweils dim(U_i) Elemente

und zeige dass alle diese Basisvektoren zusammen eine Basis von V

bilden.

<==>  dim U1+dim U2+···+dim Ur = n.

r=2, also V=U1⊕U2

<==>  Jedes v∈V ist eindeutig als Summe u1+u2 mit u1∈U1 und u2∈U2  
darstellbar.

Sind B1 und B2 Basen von U1 bzw. U2 dann sind wiederum

u1 und u2 eindeutig als Linearkombinationen von B1 bzw. B2 darstellbar.

Also ist jedes v∈V ist eindeutig als Linearkombination der Familie, die

als Zusammenfügung von B1 und B2 entsteht, darstellbar.

<=> Diese "Zusammenfügung" ist eine Basis von V.

Und B1 hat dim(U1)  und B2 hat dim (U2) Elemente.

Comments

Müsste man nicht die Implikation von beiden Seiten eben zeigen. Oder genügt das schon als Beweis?