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Aufgabe:

Es sei M = {a, b, c, d}. Definieren Sie eine Äquivalenzrelation auf M, für die a äquivalent zu b und b äquivalent zu c gilt, aber a nicht äquivalent zu d ist.


Problem/Ansatz:

Ich weiß, wie man Äquivalenz zeigt, aber ich kann nicht herausfinden, wie ich ein Beispiel finden kann, das die Bedingung erfüllt.


Danke für jede Hilfe!

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Überlege zunächst, welche Äquivalenzklassen es gibt, also diejenigen Teilmengen von M, in denen jeweils alle zueinander äquivalenten Elemente sind.

In deinem Fall sind das die Teilmengen {a,b,c}\{a,b,c\} und {d}\{d\}.

Die Äquivalenzrelation ergibt sich nun auf natürliche Weise:

Zwei (nicht notwendig) verschiedene Elemente m,nMm,n \in M sind äquivalent genau dann, wenn beide Elemente in {a,b,c}\{a,b,c\} oder beide Elemente in {d}\{d\} sind. Oder formaler:

mnm,n{a,b,c} oder m,n{d}(also m=n=d)m\sim n \Leftrightarrow m,n \in \{a,b,c\} \text{ oder } m,n \in\{d\} (\text{also } m=n=d)

Als Teilmenge vom M×MM\times M ist die Äquivalenzrelation gegeben durch

{(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c),(d,d)}\{(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c), (d,d)\}

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