Aufgabe:
Rekursionsformel zu folgendem Integral erstellen
Problem/Ansatz:
Text erkannt:
\( \begin{array}{l} \Phi_{n}:=\int \frac{1}{\left(1+\lambda_{1}^{2}\right)^{n}} d x \\ \Phi_{1}=\int \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)} d x=\arctan (x) \end{array} \)
\( \int \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} d x=\int \frac{1+x^{2}-x \cdot x}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} d x=\int \frac{1+x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} d x-\int x \cdot \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} d x=\underbrace{\int \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{n-1}}}_{\Phi_{n-1}} d x-\int \frac{x^{1}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} d x \)
\( \begin{array}{l} \int x \cdot \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} d x=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(-n+1)} \cdot\left(1+x^{2}\right)^{-n+1} \cdot x-\int 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(-n+1)}\left(1+x^{2}\right)^{-n+1} d x \\ g f^{\prime}=f g-\int f_{g}^{\prime} d x \end{array} \)
\( \begin{array}{l} f^{\prime}=\frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}=\frac{1}{2} \cdot 2 x \cdot\left(1+x^{2}\right)^{-n} \quad f=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(-n+1)}\left(1+x^{2}\right)^{-n+1} \\ g=x \quad g^{\prime}=1 \\ \int x \cdot \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} d x=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(-n+1)} \cdot\left(1+x^{2}\right)^{-n+1} \cdot x-\int 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(-n+1)}\left(1+x^{2}\right)^{-n+1} d x \\ =\frac{x}{2(1-n)\left(1+x^{2}\right)^{n-1}}-\frac{1}{2(1-n)} \cdot \underbrace{\Phi_{n-1}}_{\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{n-1}} d x} \\ =\frac{x}{2(1-n)\left(1+x^{2}\right)^{n-1}-\frac{1}{2(1-n)}} \cdot \Phi_{n-1} \end{array} \)
\( \begin{aligned} \int \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} d x & =\underbrace{\int \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{n-1}}}_{\Phi_{n-1}} d x-\int \frac{x^{1}}{\left(n+x^{2}\right)^{n}} d x=\Phi_{n-1}-\frac{x}{2(n-n)\left(1+x^{2}\right)^{n-1}}+\frac{1}{2(1-n)^{\Phi_{n-1}}} \\ \Phi_{\Phi_{n}} & =\frac{3+2 n}{2(n-n)} \Phi_{n-1}-\frac{x}{2(1-n)\left(1+x^{1}\right)^{n-1}} \end{aligned} \)
mit \( \Phi_{1}=\arctan (x) \)
Geht das so, oder habe ich da Fehler reingehauen? Ich bin irgendiwe sehr verwirrt, danke schonmal im Voraus
