Reihe untersuchen, siehe unten

Question

Aufgabe: Untersuche, für welche x element von R die Reihe

Text erkannt:

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n !+n^{n}} x^{n}$

konvergent bzw. absolut konvergent ist

Comments

die Summanden sind alle kleiner 1, aber für große n nahe 1.

kannst du es dann?

lul

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Meinst du wirklich  die Summanden ?

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Hallo

nein ich meine natürlich die Koeffizienten ohne xⁿ

lul

Answer 1

Konvergenzradius nach dem Quot.kriterium bestimmen

wäre, wenn er existiert, der Grenzwert $\lim \limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}}$

Also betrachte $\frac{\frac{n^n }{n!+n^n}}{\frac{(n+1)^{n+1} }{(n+1)!+(n+1)^{n+1}}}$

$= \frac{n^n }{n!+n^n} \cdot \frac{(n+1)!+(n+1)^{n+1}}{(n+1)^{n+1} }$

2. Bruch mit n+1 kürzen

$= \frac{n^n }{n!+n^n} \cdot \frac{n!+(n+1)^{n}}{(n+1)^{n} }$

$= (\frac{n}{n+1})^n \cdot \frac{n!+(n+1)^{n}}{n!+n^n}$

$= (\frac{n}{n+1})^n \cdot \frac{\frac{n!}{n^n}+(\frac{n+1}{n})^{n}}{\frac{n!}{n^n}+1}$

Grenzwertsätze ergeben den Gerenzwert

$e^{-1} \cdot \frac{0+e}{0+1} = 1$

Also ist die Reihe abs. konvergent in ]-1 ; 1 [.

In den Randpunkten aber nicht.