Es seien U⊂Rl,V⊂RmundW⊂RnVR.
Sei E : ={v1,…,vr} eine Basis von V und für w1,…,wr∈W
sei ϕ : V→W die eindeutige lineare Abbildung mit ϕ(vk)=wk für alle 1≤k≤r. Zeigen Sie:
(a) φ ist genau dann surjektiv, wenn {w1,…,wr} ein Erzeugendensystem von W ist.
(b) φ ist genau dann bijektiv, wenn {w1,…,wr} eine Basis von W ist.
Problem/Ansatz:
a)
Sei E eine Basis von V und W . Dann ist E per Definition ein minimales EZS Von V und W .
Dann sind alle Vektoren in E linear unabhängig. Wenn jetzt E ein Vektor hinzugefügt wird, ist dieser linear abhängig zu anderen, was dazu führt, dass das Urbild dieses auf ϕ angewendeten Vektors zwei Bilder hat, da ja ein anderer (linear unabhängiger aus E ) auch dieses Urbild besitzt, was nach Definition der Surjektivität als Nachweis dafür gelten sollte.
Aber wie weise ich das mathematisch nach? Brauche ich dazu auch den Kern usw? Und stimmt dieser Ansatz überhaupt?