Mittelwertsatz der Differentialgleichungen

Question

Hallo

Wie kann ich mit dem Mittelwertsatz der Differentialgleichungen die Ungleichung beweisen?

Text erkannt:

\( \tan x\left\{\begin{array}{ll}>x & \text { für } 0<x<\frac{\pi}{2} \\ <x & \text { für }-\frac{\pi}{2}<x<0\end{array}\right. \)

Answer 1

$$ \frac{ \tan(x) }{ x } = \frac{ \tan(x) - \tan(0) } { x - 0 } = \tan'(\xi) = 1 + \tan^2(\xi) > 1 $$ mit \( \xi \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) \) oder \( \xi \in \left( -\frac{\pi}{2} , 0 \right) \)

1. Fall \( \xi \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) \) dann folgt   \( \tan(x) > x \) weil \( x > 0 \)

2. Fall \( \xi \in \left( -\frac{\pi}{2} , 0 \right) \) dann folgt   \( \tan(x) < x \) weil \( x < 0 \)