Mittelwertsatz der Differentialgleichungen

Question

Hallo

Wie kann ich mit dem Mittelwertsatz der Differentialgleichungen die Ungleichung beweisen?

Text erkannt:

$\tan x\left\{\begin{array}{ll}>x & \text { für } 0<x<\frac{\pi}{2} \\ <x & \text { für }-\frac{\pi}{2}<x<0\end{array}\right.$

Answer 1

$$\frac{ \tan(x) }{ x } = \frac{ \tan(x) - \tan(0) } { x - 0 } = \tan'(\xi) = 1 + \tan^2(\xi) > 1$$ mit $\xi \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$ oder $\xi \in \left( -\frac{\pi}{2} , 0 \right)$

1. Fall $\xi \in \left( 0,\frac{\pi}{2} \right)$ dann folgt   $\tan(x) > x$ weil $x > 0$

2. Fall $\xi \in \left( -\frac{\pi}{2} , 0 \right)$ dann folgt   $\tan(x) < x$ weil $x < 0$