Bestimmen Sie, für welche a€R der Vektor wa = (0,a,1) in lin (v1,v2) liegt.

Question

Aufgabe:

Vektoren schreibe ich hier waagerecht

1) Es seien v1= (1,2,3) und v2=(3,2,1) zwei Vektoren im Raum R³. Bestimmen Sie, für welche a€R der Vektor wa = (0,a,1) in lin (v1,v2) liegt.

2) Untersuchen Sie, ob B := {f ∈ Abb(R, R) | f ist bijektiv} ein R-Unterraum von Abb(R, R)
ist. sowie

Untersuchen Sie, ob C := {f ∈ Abb(R,R) | fist2π-periodisch} ein R-Unterraum von Abb(R, R) ist.

Problem/Ansatz:

1) ich habe wa*v1xv2 berechnet (erst kreuzprodukt dann skalarprodukt) und (0,8a,0) rausbekommen. Was mache ich nun damit um die Forderung der Aufgabe zu erfüllen?

2) hier weiß ich nicht weiter.

Answer 1

Hallo

1. beim Skalarprodukt kommt eine Zahl raus kein Vektor, deshalb weiss ich nicht was du gemacht hast- für welche a kannst du r*v1+s*v2=wa erreichen durch die erste und dritte Komponente sind ja r und s festgelegt.

2. du musst die Vekrorraum Axiome für f bijektiv nachweisen entsprechend für 2pi periodische Funktionen.

schreib sie auf und weise die 3 Axiome nach.

Gruß lul

Comments

Ich habe bei 1) das Kreuzprodukt * vektor w gerechnet. wie bekomme ich das r und s in r*v1+s*v2=wa?

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Hallo

wie bekomme ich das r und s in r*v1+s*v2=wa?

indem du  das für die 3 Komponenten einzeln hinschreibst

1. Gleichung  r*1+s*3=0

zu Kreuzprodukt ist ein Vektor, skalar mulipliziert mit  w gibt eine Zahl

Gruß lul

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was ist denn r und was s? bedeutung? ergebnis= r1+s3=0? muss ich da was einsetzen?

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r und s sind die Faktoren für die Linearkombination von v1 und v2 um w zu erzeugen

aus der ersten Gleichung folgt r=-3s

jetzt die dritte Komponente benutzen um r und s zu bestimmen. dann hast du Zahlen für r und s. damit die 2 te Komponente a bestimmen.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

zu 1) Wenn $\vec w_a=(0;a;1)^T$ in der von $\vec v_1=(1;2;3)^T$ und $\vec v_2=(3;2;1)^T$ aufgespannten Ebene liegt, spannen die 3 Vektoren kein Volumen (Spat) auf. Das heißt ihr Spatprodukt bzw. ihre Determinante ist gleich Null:$$0\stackrel!=\vec w_a\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)=\begin{pmatrix}0\\a\\1\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\\a\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4\\8\\-4\end{pmatrix}=8a-4\implies a=2$$Nur für $a=2$ ist $\vec w_a$ eine Linearkombination von $\vec v_1$ und $\vec v_2$.

zu 2) Ein Untervektorraum $U$ eines $\mathbb K$-Vektorraums $(V,+\cdot)$ muss folgende Kriterien erfüllen:

(1) $\quad\vec 0\in U\quad$(Einen Vektorraum ohne Urpsrung gibt es nicht.)

(2) $\quad \vec a,\vec b\in U\implies (\vec a+\vec b)\in U\quad$(Abgeschlossen bezüglich Addition)

(3) $\quad c\in\mathbb K\,,\,\vec a\in U\implies(c\cdot\vec a)\in U\quad$(Abgeschlossen bezüglich Skalarmultiplikation)

Bei einer bijektiven Funktion wird jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen, daher sind die folgenden beiden Funktionen bijektiv:$$a\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\,x\mapsto a(x)=+x\quad\text{und}\quad b\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\,x\mapsto b(x)=-x$$Ihre Summe$$(a+b)(x)=a(x)+b(x)=+x-x=0$$bildet jedoch jedes $x\in\mathbb R$ auf die Null ab. Die Null wird daher mehr als 1-mal getroffen, sodass die Summe nicht bijektiv ist.

Die bijektiven Funktionen bilden daher keinen Unterraum von $\text{Abb}(\mathbb R,\mathbb R)$.

zu 3) Wir prüfen die 3 Forderungen an einen Untervektorraum.

(1) Die Funktion $f(x)=0$ ist $2\pi$-periodisch, denn $f(x+2\pi)=0=f(x)$.

(2) Seien $f$ und $g$ zwei $2\pi$-periodische Funktionen, dann gilt:$$\quad f(x+2\pi)=f(x)\;\land\;g(x+2\pi)=g(x)\implies$$$$\quad (f+g)(x+2\pi)=f(x+2\pi)+g(x+2\pi)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)$$Die Summe ist also wieder eine $2\pi$-periodische Funktion.

(3) Sei $c\in\mathbb R$ und $f(x)$ eine $2\pi$-periodische Funktion, dann gilt:$$c\in\mathbb R\;\land\;f(x+2\pi)=f(x)\implies (c\cdot f)(x+2\pi)=c\cdot f(x+2\pi)=c\cdot f(x)=(c\cdot f)(x)$$Die mit einem Skalar multiplizierte Funktion ist also ebenfalls eine $2\pi$-periodische Funktion.

Die $2\pi$-periodischen Funktionen bilden also einen Unterraum von $\text{Abb}(\mathbb R,\mathbb R)$.