Aloha :)
zu 1) Wenn \(\vec w_a=(0;a;1)^T\) in der von \(\vec v_1=(1;2;3)^T\) und \(\vec v_2=(3;2;1)^T\) aufgespannten Ebene liegt, spannen die 3 Vektoren kein Volumen (Spat) auf. Das heißt ihr Spatprodukt bzw. ihre Determinante ist gleich Null:$$0\stackrel!=\vec w_a\cdot(\vec v_1\times\vec v_2)=\begin{pmatrix}0\\a\\1\end{pmatrix}\cdot\left(\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}0\\a\\1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-4\\8\\-4\end{pmatrix}=8a-4\implies a=2$$Nur für \(a=2\) ist \(\vec w_a\) eine Linearkombination von \(\vec v_1\) und \(\vec v_2\).
zu 2) Ein Untervektorraum \(U\) eines \(\mathbb K\)-Vektorraums \((V,+\cdot)\) muss folgende Kriterien erfüllen:
(1) \(\quad\vec 0\in U\quad\)(Einen Vektorraum ohne Urpsrung gibt es nicht.)
(2) \(\quad \vec a,\vec b\in U\implies (\vec a+\vec b)\in U\quad\)(Abgeschlossen bezüglich Addition)
(3) \(\quad c\in\mathbb K\,,\,\vec a\in U\implies(c\cdot\vec a)\in U\quad\)(Abgeschlossen bezüglich Skalarmultiplikation)
Bei einer bijektiven Funktion wird jedes Element der Zielmenge genau 1-mal getroffen, daher sind die folgenden beiden Funktionen bijektiv:$$a\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\,x\mapsto a(x)=+x\quad\text{und}\quad b\colon\mathbb R\to\mathbb R\,,\,x\mapsto b(x)=-x$$Ihre Summe$$(a+b)(x)=a(x)+b(x)=+x-x=0$$bildet jedoch jedes \(x\in\mathbb R\) auf die Null ab. Die Null wird daher mehr als 1-mal getroffen, sodass die Summe nicht bijektiv ist.
Die bijektiven Funktionen bilden daher keinen Unterraum von \(\text{Abb}(\mathbb R,\mathbb R)\).
zu 3) Wir prüfen die 3 Forderungen an einen Untervektorraum.
(1) Die Funktion \(f(x)=0\) ist \(2\pi\)-periodisch, denn \(f(x+2\pi)=0=f(x)\).
(2) Seien \(f\) und \(g\) zwei \(2\pi\)-periodische Funktionen, dann gilt:$$\quad f(x+2\pi)=f(x)\;\land\;g(x+2\pi)=g(x)\implies$$$$\quad (f+g)(x+2\pi)=f(x+2\pi)+g(x+2\pi)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)$$Die Summe ist also wieder eine \(2\pi\)-periodische Funktion.
(3) Sei \(c\in\mathbb R\) und \(f(x)\) eine \(2\pi\)-periodische Funktion, dann gilt:$$c\in\mathbb R\;\land\;f(x+2\pi)=f(x)\implies (c\cdot f)(x+2\pi)=c\cdot f(x+2\pi)=c\cdot f(x)=(c\cdot f)(x)$$Die mit einem Skalar multiplizierte Funktion ist also ebenfalls eine \(2\pi\)-periodische Funktion.
Die \(2\pi\)-periodischen Funktionen bilden also einen Unterraum von \(\text{Abb}(\mathbb R,\mathbb R)\).
