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Was muss ich jetzt tun bzw. wie fange ich an ?

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Du fängst damit an, in dem du den Vektor p als Linearkombination der 3 Basisvektoren der neuen Basis darstellst.

Es muss gelten:

$$a*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} + b*\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0\end{pmatrix} + c*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \vec{ p }=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 4\end{pmatrix}$$

Damit ergeben sich 3 Gleichungen:

1) a + b = 3

2) a - b = -2

3) c = 4

2) umgestellt nach a:

a = -2 + b

in 1) eingesetzt:

-2 + b + b = 3

b = 2,5

mit 2)

a = 0,5

Also lauten die Koordinaten von p bzgl. der Basis B: $$\vec{ p }_{B}=\begin{pmatrix} 0,5 \\ 2,5 \\ 4\end{pmatrix} $$

Jetzt kann die Matrix der linearen Abbildung F auf p angewandt werden, um q zu ermitteln.

Dies geschieht durch einfache Multiplikation:

$$ \vec{ q }=\begin{pmatrix} -1 & -2 & 0  \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0,5 \\ 2,5 \\ 4\end{pmatrix} \\

= \begin{pmatrix} -5,5 \\ 8,5 \\ 8\end{pmatrix}$$
von 3,2 k

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