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Hallo zusammen, hätte hier eine Aufgabe..


Sei f : ℝ → ℝ stetig und f(x0) > 0 in einem Punkt x0 ∈ ℝ.

Zeigen Sie, dass dann a, b ∈ ℝ existieren mit a < x0 < b, so dass f(x) > 0 für alle x ∈ (a, b)



Grüße:)

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Hier ist die \(\epsilon-\delta\)-Definition der Stetigkeit hilfreich.

Zu \(\epsilon_0 = \frac {f(x_0)}2\) gibt es ein \(\delta_0>0\), so dass gilt

\(x_0-\delta_0 < x < x_0+\delta_0= \Rightarrow f(x_0)-\epsilon_0 < f(x) < f(x_0)-\epsilon_0\)

Nun gilt aber

\(f(x_0)-\epsilon_0 = \frac {f(x_0)}2 > 0\).

Setzt also \(a= x_0-\delta_0\) und \(b= x_0+\delta_0\), dann gilt

\(0< \frac {f(x_0)}2 < f(x)\) für alle \(x\in (a,b)\).

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