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Ich habe als Übung weitere Integrale mittels Tramsformation gelöst. Könnte wieder jemand einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob meine Berechnungen so korrekt sind?

Aufgabe:

1) Bestimme das Integral Bx2+y2 d(x,y) \int \limits_{\mathcal{B}} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d}(x, y) über den Bereich BR2 \mathcal{B} \subset \mathbb{R}^{2} . Verwendet man die Transformation
Ψ(r,θ)=(x(r,θ),y(r,θ))=(rcos(θ),rsin(θ)) \Psi(r, \theta)=(x(r, \theta), y(r, \theta))=(r \cos (\theta), r \sin (\theta))
entspricht B \mathcal{B} dem Bereich Ψ(B) \Psi\left(\mathcal{B}^{*}\right) mit B={(r,θ)0θ<2π,0r1+cos(θ)} \mathcal{B}^{*}=\{(r, \theta) \mid 0 \leq \theta<2 \pi, 0 \leq r \leq 1+\cos (\theta)\} .


E3BB4E2B-31C5-4524-918D-3716FC62556D.jpeg

Text erkannt:

Integrationsbereich B \mathcal{B} .




Integrationsbereich B \mathcal{B} .


Ansatz:


Bx2+y2d(x,y) \int \limits_{B} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d(x, y)
ψ(r,σ)=(x(r,σ),y(r,θ)=(rcos(θ),rsin(θ)) \psi(r, \sigma)=(x(r, \sigma), y(r, \theta)=(r \cos (\theta), r \sin (\theta))
ψ(B) \psi\left(B^{*}\right) mit B=(r,0)0σ<2π,0r1+cos(θ)} \left.B^{*}=\ell(r, 0) \mid 0 \leqslant \sigma<2 \pi, 0 \leqslant r \leqslant 1+\cos (\theta)\right\}
ψ(r,θ)=(x(r,θ)y(r,θ))=(rcos(θ)rsin(θ)) \psi(r, \theta)=\left(\begin{array}{l}x(r, \theta) \\ y(r, \theta)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}r \cos (\theta) \\ r \sin (\theta)\end{array}\right)
B={(r,θ)0θ<2π,0r1+cos(θ)} B^{*}=\{(r, \theta) \mid 0 \leqslant \theta<2 \pi, 0 \leqslant r \leqslant 1+\cos (\theta)\}
Jψ=(cos(θ)rsin(θ)sin(θ)rcos(θ))= J \psi=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta) & -r \sin (\theta) \\ \sin \left(\theta^{\circ}\right) & r \cos \left(\theta^{\circ}\right)\end{array}\right)=
det(Jψ)=rcos2(θ)+rsin2(θ)=r=r |\operatorname{det}(J \psi)|=\left|r \cos ^{2}(\theta)+r \sin ^{2}(\theta)\right|=|r|=r
01+cos(θ)02πrdθdr=01+cos(θ)rdrθ02π= \int \limits_{0}^{1+\cos (\theta)} \int \limits_{0}^{2 \pi} r \cdot d \theta d r=\left.\int \limits_{0}^{1+\cos (\theta)} r d r \cdot \theta\right|_{0} ^{2 \pi}=
01+cos(θ)rdr2π=2πr2201+cos(θ)= \int \limits_{0}^{1+\cos (\theta)} r d r \cdot 2 \pi=\left.2 \pi \cdot \frac{r^{2}}{2}\right|_{0} ^{1+\cos (\theta)}=
=2π(1+cos(θ))22=2π1+2cos(θ)+cos2(θ)2 =2 \pi \cdot \frac{(1+\cos (\theta))^{2}}{2}=2 \pi \frac{1+2 \cos (\theta)+\cos ^{2}(\theta)}{2}

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Du hast den Integranden oder die Jacobideterminante vergessen. Du hast die Integrationsreihenfolge nicht beachtet. Liies Dir die Antworten auf Deine vorigen Posts durch

Bist du dir sicher, dass der Integrand x2+y2\sqrt{x^2+y^2} und nicht 1x2+y2\frac 1{\sqrt{x^2+y^2}} ist?

Das würde die Integration deutlich erleichtern.

Ja, der Integrand ist x2+y2 \sqrt{x^2+y^2} .

Hast du schon Erfahrung mit Integralen zum Beispiel der Form

(1+cost)3  dt\int (1+\cos t)^3\; dt?

Ja, habe ich, hier verwende ich die Reduktionsformel, aber der Prof. hat da seine eigene Variante. die ich nicht nachvollziehen konnte. Ich habe mal sogar hier im Lounge eine Stammfunktion Aufgabe gepostet, wo ich mit der Methode des Profs rechnen wollte, aber bin dann gescheitert und habe dann die übliche Integrationsregel verwendet. Wie würdest du die Stammfunktion berechnen? Gibt´s da eine andere Variante außer die Reduktions- und Produkt-zu-Summe Formel?

Versuch zunächst deine Transformation und Integration so zu korrigieren, dass du auf das folgende Integral kommst:

1302π(1+cosθ)3  dθ\frac 13\int_0^{2\pi} (1+\cos \theta)^3\; d\theta

Danach können wir uns mit dem letzten Integrationsschritt beschäftigen.

2 Antworten

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Beste Antwort

Aloha :)

Du hast den Übergang von kartesichen Koordinaten (x;y)(x;y) zu Polarkoordinaten (r;φ)(r;\varphi) korrekt bestimmt:(xy)=(rcosφrsinφ);φ[0;2π]  ;  r[0;1+cosφ];dxdy=rdrdφ\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad \varphi\in[0;2\pi]\;;\;r\in[0;1+\cos\varphi]\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphiDein Ergebnis kann jedoch nicht korrekt sein, weil darin noch die Variable φ\varphi auftaucht, für die ja die Grenzen des Integrationsintervalls einzusetzen sind.

Der korrekte Rechenweg sähe so aus:I=r=01+cosφφ=02π(rcosφ)2=x2+(rsinφ)2=y2rdrdφ=dxdy=φ=02πr=01+cosφr2drdφI=\int\limits_{r=0}^{1+\cos\varphi}\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\sqrt{\underbrace{(r\cos\varphi)^2}_{=x^2}+\underbrace{(r\sin\varphi)^2}_{=y^2}}\,\underbrace{r\,dr\,d\varphi}_{=dx\,dy}=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\int\limits_{r=0}^{1+\cos\varphi}r^2\,dr\,d\varphiDa fehlt bei dir das Quadrat (r2)(r^{\pink2}), Wir erhalten einen Faktor rr aus der Wurzelfunktion und einen Faktor rr aus der Transformation des Flächenelementes dxdydx\,dy.

Da in der oberen Integrationsgrenze für drdr noch die Variable φ\varphi auftaucht, müssen wir als erstes ein φ[0;2π]\varphi\in[0;2\pi] beliebig wählen und dann festhalten. Für dieses bestimme φ\varphi führen wir die Integration über drdr durch:I=φ=02π[r33]r=01+cosφdφ=13φ=02π(1+cosφ)3dφI=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\left[\frac{r^3}{3}\right]_{r=0}^{1+\cos\varphi}d\varphi=\frac13\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}(1+\cos\varphi)^3d\varphi

Für die Integration über dφd\varphi würde ich den Integranden zunächst umformen:(1+cosφ)3=1+3cosφ+3cos2φ+cos3φ(1+\cos\varphi)^3=1+3\cos\varphi+3\green{\cos^2\varphi}+\pink{\cos^3\varphi}(1+cosφ)3=1+3cosφ+3(12+12cos(2φ))+cosφ(1sin2φ)\phantom{(1+\cos\varphi)^3}=1+3\cos\varphi+3\green{\left(\frac12+\frac12\cos(2\varphi)\right)}+\pink{\cos\varphi(1-\sin^2\varphi)}(1+cosφ)3=52+4cosφ+32cos(2φ)cosφsin2φ\phantom{(1+\cos\varphi)^3}=\frac52+4\cos\varphi+\frac32\cos(2\varphi)-\cos\varphi\sin^2\varphisodass man das Integral sofort hinschreiben kann:I=13[52φ+4sinφ+34sin(2φ)13sin3φ]φ=02π=13522π=53πI=\frac13\left[\frac52\varphi+4\sin\varphi+\frac34\sin(2\varphi)-\frac13\sin^3\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}=\frac13\cdot\frac52\cdot2\pi=\frac53\,\pi

Avatar von 153 k 🚀

Vielen vielen Dank für deine Erklärung Tschakabumba!

Ich habe aber einige Umformung leider noch nicht verstanden:

(1+cosφ)3=1+3cosφ+3(12+12cos(2φ))+cosφ(1sin2φ)\phantom{(1+\cos\varphi)^3}=1+3\cos\varphi+3\green{\left(\frac12+\frac12\cos(2\varphi)\right)}+\pink{\cos\varphi(1-\sin^2\varphi)}


Warum ist cos2 Φ =  (1/2 + 1/2 cos (2Φ)) ? Und wie bist du auf die pink markierte Umformung gekommen?

Zuerst die Formel in pink:cos3φ=cosφcos2φ=cosφ(1sin2φ)\cos^3\varphi=\cos\varphi\cdot\cos^2\varphi=\cos\varphi\cdot(1-\sin^2\varphi)

Die Formel in grün geht so:cos2φ=12sin2φ+12cos2φ+12cos2φ12sin2φ\cos^2\varphi=\frac12\sin^2\varphi+\frac12\cos^2\varphi+\frac12\cos^2\varphi-\frac12\sin^2\varphicos2φ=12(sin2φ+cos2φ)=1+12(cos2φsin2φ)=cos(2φ)\phantom{\cos^2\varphi}=\frac12\underbrace{(\sin^2\varphi+\cos^2\varphi)}_{=1}+\frac12\underbrace{\left(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi\right)}_{=\cos(2\varphi)}cos2φ=12+12cos(2φ)\phantom{\cos^2\varphi}=\frac12+\frac12\cos(2\varphi)

Die Formel in pink habe ich verstanden, aber die Formel in grün habe ich noch nicht durchblickt.

Warum ist cos2φ=12sin2φ+12cos2φ+12cos2φ12sin2φ\cos^2\varphi=\frac12\sin^2\varphi+\frac12\cos^2\varphi+\frac12\cos^2\varphi-\frac12\sin^2\varphi

Ist das eine bekannte Regel? Ich kann mir nicht erklären, warum cos2 Φ = 1/2 sin ... ist

Hier wurde eine "nahrhafte Null" addiert:cos2φ=12cos2φ+12cos2φ=cos2φ  +12sin2φ12sin2φ=0\cos^2\varphi=\underbrace{\red{\frac12\cos^2\varphi+\frac12\cos^2\varphi}}_{=\cos^2\varphi}\;\underbrace{\green{+\frac12\sin^2\varphi-\frac12\sin^2\varphi}}_{=0}cos2φ=(12sin2φ+12cos2φ)+(12cos2φ12sin2φ)\phantom{\cos^2\varphi}=\left(\green{\frac12\sin^2\varphi}+\red{\frac12\cos^2\varphi}\right)+\left(\red{\frac12\cos^2\varphi}-\green{\frac12\sin^2\varphi}\right)

Achso, okay, hab's jetzt verstanden, 1000 Dank!

Ich wäre aber niemals auf die Idee gekommen das so zu rechnen.

Mir ist noch im Nachhinein was eingefallen: Wir erhalten ja einen Faktor r  aus der Wurzelfunktion und einen Faktor aus der Determinante, oder?

Du hast aber erklärt, dass wir einen Faktor aus der Transformation des Flächenelementes erhalten, aber wo ist dann das r von der berechneten Determinante?

Mit der Determinanten wird das Flächenelment transformiert. Die Determinante liefert genau den Faktor rr, der in dxdy=rdrdφdx\,dy=r\,dr\,d\varphi auftaucht.

Achsooo, alles klar, vielen Dank!

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Da du auch trigonometrische Reduktionsformeln kennst, ergänz ich hier mal noch die Berechnung des Integrals I=1302π(1+cosθ)3  dθI= \frac 13\int_0^{2\pi}(1+\cos \theta)^3\; d\theta per solch einer Formel.

Ich wende dabei die Reduktionsformel für sin2nx  dx\int \sin^{2n} x \; dx an. Dazu muss ich aber erst einmal das Integral etwas "massieren" und die Integrationsgrenzen symmetrisch zu 0 machen:

(Insofern ist Tschakabumbas Integrationsmethode sicher die schnellere.)

Wir brauchen zunächst:

cos2t=cos2tsin2t=2cos2t1\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t = 2\cos^2 t - 1

Also

02π(1+cosθ)3  dθ=02π(2cosθ2)3  dθ=802πcos6θ2  dθ\int_0^{2\pi}(1+\cos \theta)^3\; d\theta = \int_0^{2\pi}(2\cos \frac{\theta}2)^3\; d\theta = 8 \int_0^{2\pi}\cos^6 \frac{\theta}2\; d\theta

Weil wir keine Lust haben, dauernd θ2\frac{\theta}2 zu schreiben, substituieren wir u=θ2\boxed{u = \frac{\theta}2}:

802πcos6θ2  dθ=160πcos6u  du8 \int_0^{2\pi}\cos^6 \frac{\theta}2\; d\theta = 16\int_0^{\pi}\cos^6 u\; du

Um die Reduktionsformel anzuwenden, schieben wir alles um π2\frac{\pi}2 nach links. Also u=t+π2\boxed{u=t+\frac{\pi}2} und beachte, dass cos(t+π2)=sint\cos \left( t+\frac{\pi}2\right) = -\sin t:

160πcos6u  du=16π2π2sin6u  du16\int_0^{\pi}\cos^6 u\; du = 16\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\sin^6 u\; du.
Jetzt macht die Reduktionsformel Spaß, denn cosπ2=cos(π2)=0\cos \frac{\pi}2 = \cos \left(-\frac{\pi}2\right) = 0:

16π2π2sin6u  du=1656π2π2sin4u  du16\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\sin^6 u\; du = 16\cdot\frac 56 \int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\sin^4 u\; du

=165634π2π2sin2u  du=165634π2=5π= 16\cdot \frac 56 \cdot\frac 34\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}\sin^2 u \; du = 16\cdot \frac 56 \cdot\frac 34\cdot \frac{\pi}2 = 5\pi

I=1302π(1+cosθ)3  dθ=53π\boxed{I= \frac 13\int_0^{2\pi}(1+\cos \theta)^3\; d\theta = \frac 53 \pi}


Avatar von 12 k

Vielen Dank tranceloaction, ich rechne mal die Aufgabe mit deiner Variante und melde mich bei Fragen, danke dir!!

Klar. Lass dir Zeit. Lieber in Ruhe durchrechnen.

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