Ich habe als Übung weitere Integrale mittels Tramsformation gelöst. Könnte wieder jemand einen Blick werfen und mir eine Rückmeldung geben, ob meine Berechnungen so korrekt sind?
Aufgabe:
1) Bestimme das Integral B∫x2+y2 d(x,y) über den Bereich B⊂R2. Verwendet man die Transformation
Ψ(r,θ)=(x(r,θ),y(r,θ))=(rcos(θ),rsin(θ))
entspricht B dem Bereich Ψ(B∗) mit B∗={(r,θ)∣0≤θ<2π,0≤r≤1+cos(θ)}.

Text erkannt:
Integrationsbereich B.
Integrationsbereich B.
Ansatz:
B∫x2+y2d(x,y)
ψ(r,σ)=(x(r,σ),y(r,θ)=(rcos(θ),rsin(θ))
ψ(B∗) mit B∗=ℓ(r,0)∣0⩽σ<2π,0⩽r⩽1+cos(θ)}
ψ(r,θ)=(x(r,θ)y(r,θ))=(rcos(θ)rsin(θ))
B∗={(r,θ)∣0⩽θ<2π,0⩽r⩽1+cos(θ)}
Jψ=(cos(θ)sin(θ∘)−rsin(θ)rcos(θ∘))=
∣det(Jψ)∣=∣∣∣rcos2(θ)+rsin2(θ)∣∣∣=∣r∣=r
0∫1+cos(θ)0∫2πr⋅dθdr=0∫1+cos(θ)rdr⋅θ∣∣∣∣∣∣02π=
0∫1+cos(θ)rdr⋅2π=2π⋅2r2∣∣∣∣01+cos(θ)=
=2π⋅2(1+cos(θ))2=2π21+2cos(θ)+cos2(θ)