Aufspalten einer Summe

Question

$\sum \limits_{i=1}^{n+1}\left(4-4 x_{i}\right)+\sum \limits_{i=0}^{n}\left(2 x_{i}-4\right)-20 \cdot \sum \limits_{i=0}^{n}\left(x_{i}+\frac{1}{20}\right)$

Komme hierbei nicht auf die korrekte Lösung, würde mich über eine vollständige Lösung freuen.

Lg

Answer 1

Hallo,

Willkomen in der Mathelounge!

das geht z.B. so:$$\phantom{=}\sum \limits_{i=1}^{n+1}\left(4-4 x_{i}\right)+\sum \limits_{i=0}^{n}\left(2 x_{i}-4\right)-20 \cdot \sum \limits_{i=0}^{n}\left(x_{i}+\frac{1}{20}\right) \\ = \sum \limits_{i=1}^{n+1} 4 - \sum \limits_{i=1}^{n+1}4x_i + \sum \limits_{i=0}^{n}2x_i - \sum \limits_{i=0}^{n}4 - 20\sum \limits_{i=0}^{n}x_i - 20\sum \limits_{i=0}^{n}\frac{1}{20}\\ = 4\sum \limits_{i=1}^{n+1}1 - 4\sum \limits_{i=1}^{n+1}x_i + 2\sum \limits_{i=0}^{n}x_i - 4\sum \limits_{i=0}^{n}1 - 20\sum \limits_{i=0}^{n}x_i - \sum \limits_{i=0}^{n}1\\ = 4\sum \limits_{i=1}^{n+1}1 - 4\sum \limits_{i=1}^{n+1}x_i + 2\sum \limits_{i=0}^{n}x_i - 4\sum \limits_{i=1}^{n+1}1 - 20\sum \limits_{i=0}^{n}x_i - \sum \limits_{i=1}^{n+1}1\\ = - 4\sum \limits_{i=1}^{n+1}x_i + 2\sum \limits_{i=0}^{n}x_i - 20\sum \limits_{i=0}^{n}x_i - \sum \limits_{i=1}^{n+1}1\\ = - 4\sum \limits_{i=1}^{n}x_i - 4x_{n+1} + 2\sum \limits_{i=1}^{n}x_i + 2x_0 - 20\sum \limits_{i=1}^{n}x_i - 20x_0 - (n+1)\\ = -22\sum\limits_{i=1}^{n}x_i -18x_0-4x_{n+1} - n-1\\ = -22\sum\limits_{i=0}^{n}x_i +4(x_0-x_{n+1}) - n-1\\$$die letzen zwei Zeilen sind jeweils ein Ergebnis in einer anderen Form

Gruß Werner

Answer 2

Hallo

1. von der ersten Summe i=n+1 einzeln schreiben danach von derweilen Summe i=0 einzeln.  danach  einfach die 3 Summanden addieren und Summe und  Summe von 1 bis n nehmen. dann hast du in der Summe  -22xi+1

Gruß lul