Berechnung des Grenzwert mit Lösungsweg

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+\sin (x)}-\sqrt[3]{1-\sin (x)}}{x} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass die Antwort 2/3 ist. Ich brauche nur den Rechenweg.

Answer 1

\( \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(1+\sin (x))^{\frac{1}{3}}-(1-\sin (x))^{\frac{1}{3}}}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{3} \cdot(1+\sin (x))^{\frac{1}{3}-1} \cdot \cos (x)-\frac{1}{3} \cdot(1-\sin (x))^{\frac{1}{3}-1} \cdot \cos (x)= \)
\( =\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1}{3} \cdot(1+\sin (x))^{-\frac{2}{3}} \cdot \cos (x)-\frac{1}{3} \cdot(1-\sin (x))^{-\frac{2}{3}} \cdot \cos (x) \)
\( =\frac{1}{3} \cdot(1+\sin (0))^{-\frac{2}{3}} \cdot \cos (0)-\frac{1}{3} \cdot(1-\sin (0))^{-\frac{2}{3}} \cdot \cos (0)= \)
\( =\frac{1}{3} \cdot(1)^{-\frac{2}{3}} \cdot 1-\frac{1}{3} \cdot(1)^{-\frac{2}{3}} \cdot 1=0 \)

Answer 2

Wende den L'Hospital an.

Comments

Habe ich schon und hatte unendlich als Antwort. Deshalb

will ich den Rechenweg sehen.

Answer 3

L'Hospital anwenden............................