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Hallo, ich habe Probleme bei den unten angegebenen Aufgaben und müsste sie bis zum 11.01.2013 abgeben, habe aber erhebliche Probleme. Wäre über jede Hilfestellung dankbar :)

 

Für die Suchmaschine:

11.10.1Berechnen Sie folgende Integrale mithilfe...‚ 13 + 3x + 2 _ _ a x(ü) 811161’   d!!! (HIYIIDCIS.  d! — 31'013]!  )‚(b) partieller Integration: flnfllx| d.r‚ je” sin(22) da‘,(c) der Substitutionslegel: fsin fidag t := H.10.2(a) Der Graph der Fimktion f : R -« R, f(:r) = (a: + a)e"‚ schließt mit der x-Achsefür —-a 5 a: 5 bein Flächenstückein. Berechnen Sieabhängigvon u,b€ RdessenFlächeninhalt A = A(a‚ b). Bestimmen Sie ferner den Grenzwert  A(a, b).ä(b) Berechnen Sie das Volumen und die Mantelflädie desjenigen Rotationslcörpers, derdurch eine Rotation des Fimktionsgraphen y = ä: um die x-Achse eingeschränktauf das Intervall [0‚ h] entsteht.H.10.8Sei f : R -—‚ R stetig differenzierbar und c : [0, b] -« R2 eine Kurve definiert durchc(t) = (fit) oost, f(t) sin t)T. Zeigen Sie L(c) = f \/ (f(t))2 + (f’(t))’dt und bestimmenSie die Bogenlänge im konkreten m1 m) = e”. '11.10.4Durch c(t) = (tcost‚tsint‚2t)T sei für 0 5 t 5 b 6 R ein Draht pararnetrisiert. Bestim-men Sie a‚ß‚‘7 > Oso, daesder Draht aufdem Kegel 0x2 +ßy2-—'yz’ = 0 liegt. SkizzierenSie die Projektion des Drahtes in die z-y-Ebene. Berechnen Sie für f(z‚y‚z) = d 5 + äz’das Kurvenintegral /f(:r‚y‚z)ds.C

Gefragt von
Jetzt ist alles da :-)

1 Antwort

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Das ist ziemlich viel, aber ich versuche so gut zu helfen, wie es geht.

 

1a) Hier musst du wie gesagt eine Partialbruchzerlegung durchführen. In diesem Fall sieht die folgendermaßen aus:

Du forderst, dass sich der Bruch zerlegen lässt zu:

 

b) Hier ist ja wieder bereits vorgegeben, wie man vorgehen soll: partielle Integration lautet

∫uv' = uv - ∫u'v

Bei der ersten Aufgabe wählst du u = ln²|x|, v' = 1 und erhältst:

∫ln²|x| dx = x ln²|x| - ∫x*(2ln|x|)/x dx = x ln²|x| - 2∫ln|x| dx

= xln²|x| - 2(x ln|x| - ∫x/x dx)

= xln²|x| -2x ln|x| + 2x + C

 

Für die zweite ist es eigentlich egal, was du als u und was als v wählst. Ich nehme mal v' = e-x, u = sin(2x):

∫e-xsin(2x) dx = -e-x sin(2x) - ∫(-e-x 2cos(2x))dx

= -e-x sin(2x) + 2∫(e-x cos(2x))dx

= -e-x sin(2x) - 2e-x cos(2x) - 4∫(e-x sin(2x))dx + C | +4∫(e-x sin(2x))dx

5*∫e-xsin(2x) dx = -e-x sin(2x) - 2e-x cos(2x) + C

∫e-xsin(2x) dx = 1/5 (-e-x sin(2x) - 2e-x cos(2x) + C)

 

c) Substituiert man t = √x, dann erhält man mit x = t²

dx = 2t dt

Und damit das neue Integral:

∫sin(√x) dx = ∫sin(t) *2t dt = 2∫t sin(t) dt

Das wird nun wieder mit partieller Integration gelöst:

2∫t sin(t) dt = -2t cos(t) + 2∫cos(t) dt = -2t cos(t) + 2sin(t) + C

Resubstituieren liefert:

∫sin(√x) dx = -2√x cos(√x) + 2 sin(√x) + C

 

2a) Zu berechnen ist das Integral:

A(a,b) = ea-e-b(1+a+b)

Für b gegen Unendlich fällt die Exponentialfunktion deutlich schneller ab als der lineare Term b wächst, darum geht b*e-b gegen 0. Außerdem geht auch (1+a)*e-b gegen 0, damit geht die Fläche gegen

A = ea

b) Es gilt:

V = π∫f(x)² dx

M = 2π ∫f(x)√(1+f'(x)²) dx

In diesem Fall:
f(x) = r/h x
f²(x) = r²/h² x²

f'(x) = r/h
f'²(x) = r²/h²

Also:

 

Es handelt sie bei der Rotationsfigur übrigens um einen Kegel mit dem Radius r und der Höhe h.

3.) Die Definition der Bogenlänge lautet:

Nach der Produktregel gilt:

c'(t) = (-f(t)sin(t) + f'(t)cos(t), f(t)cos(t) + f'(t)sin(t))

Also:

|c'(t)|² = f(t)²sin²(t) -f(t)f'(t)sin(t)cos(t) + f'(t)²cos²(t) + f(t)²cos²(t) + f(t)f'(t)cos(t)sin(t) + f'(t)²sin²(t)

Die gemischten Terme treten mit unterschiedlichen Vorzeichen auf, heben sich also gerade weg. Klammert man dann f(t)² + f'(t)² aus, erhält man:

|c'(t)|² = (f(t)²+f'(t)²)*(sin²(t)+cos²(t))

Nach dem trigonometrischen Pythagoras gilt für alle t:

sin²(t)+cos²(t) = 1

Also:

|c'(t)|² = f(t)²+f'(t)²

|c'(t)| = √(f(t)²+f'(t)²)

Gemeinsam mit der Definition der Bogenlänge folgt dann:

was zu beweisen war.

Für f(t) = e2t gilt:

f'(t) = 2e2t

Eingesetzt in die Formel für L:

4.)
Setze die Koordinaten der Kurve in die Kegelgleichung ein:

αt²cos²(t) + βt²sin²(t)-4γt² = 0

Hier kann man wieder ausnutzen, dass cos²(t) und sin²(t) nicht linear unabhängig sind, sodass

cos²(t) = 1-sin²(t):

αt²(1-sin²(t)) + βt²sin²(t)-4γt² = 0

(α-4γ)t² + (β - α) t² sin²(t) = 0

Damit der ganze Ausdruck für alle t 0 ergibt, muss bereits jeder einzelne Summand verschwinden, das heißt:

α=4γ

β = α

Dieses System ist unterbestimmt, das heißt, es gibt unendlich viele Lösungen. (Das liegt aber daran, dass es sich immer um den gleichen Kegel handelt.)

Wählt man z.B. α = β = 4, γ = 1/4, dann ist die Bedingung erfüllt.

Für die Projektion auf die x-y-Ebene betrachtet man einfach nur die beiden Komponenten:

c(t)xy = (t cos(t), t sin(t))T

Ein Bild findest du hier.

 

Nach der Definition des skalaren Kurvenintegrals:

f(c(t)) = √(5+t²)

 

c'(t) = (cos(t) - tsin(t), sin(t) + t cos(t), 2)
|c'(t)|² = cos²(t) - tcos(t)sin(t) + t²sin(t) + sin²(t)+tsin(t)cos(t)+t²cos²(t)+4 = 5 + t²

⇒ |c'(t)| = √(5+t²)

Damit erhält man:

 

Beantwortet von 10 k

Herzlichen Dank für diese schnelle Nachricht :)

Ich bin es durchgegangen und Dank deiner Erläuterungen war es auch sehr verständlich, echt supi, danke :)

Aber vielleicht möchte mir ja nochmal gerne weitergeholfen werden.

ehrlich gesagt erscheinen mir die ersten drei Aufgaben zu schwer, bei den anderen beiden Aufgaben habe ich immerhin Ansätze, bin allerdings bisher auf keine Lösung gekommen.

Vielleicht könnte mir wieder ein Mathegenie weiterhelfen, damit ich es besser verstehe.

Oh, das Bild ist ganz schön klein. Ich weiß nicht, ob das daran liegt, dass es ein Kommentar ist, aber auch beim Draufklicken wirds nicht deutlich größer.

Hast du vielleicht noch eine größere Version davon? :-)

ja du hast recht, ist mir eben auch aufgefallen, dass die sehr klein sind, tut mir leid, ich habe sie nochmal größer gemacht :)

[Bild gelöscht, neue Frage siehe Link unten]

11.4 müsste sich um eine orthonormierte Matrix mit Determinante +1 handeln (Rechtssystem)

Für die Drehachse brauchst du vermutlich den Eigenvektor. Und dazu bestimmst du den Bildvektor eines Normalenvektors zum Eigenvektor und bestimmst den Zwischenwinkel von Bild und Urbild. (Vielleicht geht's auch einfacher)

11.5 Wenn Determinante = - 1 Umlegung, sonst Drehung.

Stell bitte neue Fragen als 'neue Fragen' . In Kommentaren helfen die anderen mit der gleichen Frage nichts mehr.

@ Evidence: Wenn Julian Mi dir weiterhelfen konnte, wäre es eine sehr nette Geste, wenn du ihm als Anerkennung das mit der Auszeichnung: Beste Antwort honorierst. Für weitere Aufgaben ist es zweckmäßig diese als eigenständige Aufgaben einzustellen. Dabei kannst Du dann auch ruhig deine eigenen Ansätze mit dazu schreiben, damit wir jeweils sehen können, wo deine Schwierigkeiten liegen.

Hallo, vielen Dank schon einmal für die Hilfe. Ich werde auch nochmals eine eigenständige Aufgabe reinstellen. Ich würde Julian Mi sehr gerne eine Auszeichnung vergeben, habe allerdings noch nicht rausgefunden wie.
Habe einen neuen Thread erstellt auch mit meinen rechnerischen Ansätzen, vielleicht kann man mir ja erneut weiterhelfen :)

https://www.mathelounge.de/11036/lineare-algebra-5-aufgaben-und-komme-nicht-weiter

Ich war so frei und habe Julian Mi hierfür die beste Antwort vergeben. Lg Kai

@Evidence: Gelbgolder Button unterhalb des Daumens.

Herzlichen Dank für die Info :)
Respekt,Julian Mi!

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